هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي عبارة صحيحة عن دالة عودية ليس لها حالة أساس قابلة للبلوغ؟

  1. Aيحولها المترجم دائمًا إلى حلقة تنتهي بأمان
  2. Bتعمل في زمن O(1)
  3. Cتواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
  4. Dتُرجع 0 تلقائيًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما زمن تنفيذ خوارزمية Dijkstra مع كومة ثنائية على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V³)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO((V + E) log V)
3.هياكل البياناتمتوسطة

جدول تجزئة حجمه 7 يستخدم h(k) = k mod 7 والتقصّي الخطي (linear probing). بعد إدراج 10، أين يُخزَّن 17؟

  1. Aالفهرس 3
  2. Bالفهرس 6
  3. Cالفهرس 4
  4. Dالفهرس 0
4.هياكل البياناتصعبة

خُزّن كائن مفتاحًا في خريطة تجزئة، ثم غُيّر حقل تستخدمه دالة تجزئته. ما النتيجة المرجحة؟

  1. Aتُطلق الخريطة خطأً لحظة تغيّر الحقل
  2. Bقد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
  3. Cتنقل الخريطة المفتاح تلقائيًا إلى دلوه الجديد
  4. Dلا يتغير شيء، لأن تجزئة المفتاح تُحسب مرة واحدة فقط عند بدء البرنامج
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 16 رؤوس و21 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 16|E| = 21
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات

لماذا هذه هي الإجابة

بدون حالة أساس لا تتوقف العودية أبدًا، وعمليًا تنفد ذاكرة إطارات المكدّس ويتعطل البرنامج.

الإجابة

C · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O((V + E) log V)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك V عملية استخراج أصغر وحتى E عملية تخفيض مفتاح، كلٌّ منها O(log V)، وتحسّن كومة فيبوناتشي ذلك إلى O(E + V log V).

الإجابة

D · O((V + E) log V)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · الفهرس 4

لماذا هذه هي الإجابة

10 mod 7 = 3 و17 mod 7 = 3، والفهرس 3 مشغول، فيجرّب التقصّي الخطي الخانة التالية، أي الفهرس 4.

الإجابة

C · الفهرس 4
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة

لماذا هذه هي الإجابة

اختير موقع المفتاح من تجزئته القديمة، ومع تجزئة جديدة يبحث الاستعلام في الدلو الخطأ، لذا يجب أن تكون المفاتيح غير قابلة للتغيير.

الإجابة

B · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 6

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

16 − 1 = 15

الحواف المراد حذفها

k = 21 − 15 = 6

الإجابة

k = 6
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms