هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

حل العلاقة التكرارية T(n) = 2T(n/2) + O(n) هو:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن ترميز o الصغير صحيحة؟

  1. An = o(n²)، لكن n ليست o(n)
  2. B2n = o(n)، لأن 2n تنمو ببطء
  3. Cn = o(n)، لأن كل دالة هي o صغير لنفسها
  4. Dn² = o(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الغرض من العقدة الحارسة (sentinel أو dummy) في قائمة مترابطة؟

  1. Aجعل القائمة مرتبة
  2. Bتخزين عدد العناصر
  3. Cمنع القائمة من النمو إلى ما يتجاوز حدًّا أقصى ثابتًا من العقد
  4. Dتبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البياناتصعبة

لكي يعمل جدول التجزئة بشكل صحيح، أي قاعدة يجب أن تتبعها التجزئة والمساواة؟

  1. Aيجب أن تكون قيم التجزئة أعدادًا أولية
  2. Bتساوي قيم التجزئة يستلزم تساوي المفاتيح
  3. Cيجب أن تكون للمفاتيح المختلفة قيم تجزئة مختلفة
  4. Dيجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
91112975125ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 6؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق المبرهنة الرئيسية (master theorem) مع a = 2, b = 2, f(n) = n فإن T(n) = Θ(n log n).

الإجابة

D · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)

لماذا هذه هي الإجابة

f = o(g) تعني أن f(n) / g(n) تؤول إلى 0، وn / n² تؤول إلى 0، لكن n / n = 1 لا تؤول إليه.

الإجابة

A · n = o(n²)، لكن n ليست o(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل

لماذا هذه هي الإجابة

مع العقدة الحارسة يكون لكل عقدة حقيقية سابقة، فلا يحتاج الإدراج أو الحذف عند الرأس إلى معالجة خاصة.

الإجابة

D · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية

لماذا هذه هي الإجابة

لو جُزّئ مفتاحان متساويان بقيمتين مختلفتين لخُزّنا في دلوين مختلفين ولفشل البحث، أما المفاتيح غير المتساوية فقد تشترك في التجزئة.

الإجابة

D · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

B, C, D, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: G

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 9, C: 11
2. B (9): D: 10, G: 14
3. D (10): E: 12, F: 19
4. C (11)
5. E (12)
6. G (14)
7. F (19)

الجولة 6

G

الإجابة

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms