هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لإثبات أن مسألة جديدة X هي NP-صعبة، ماذا يجب أن تفعل؟

  1. Aأن تبيّن أن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود للمدخلات الصغيرة
  2. Bأن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
  3. Cأن تبيّن أنه يمكن التحقق من X في زمن كثير حدود
  4. Dأن تختزل X إلى مسألة NP-صعبة معروفة في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الغرض من العقدة الحارسة (sentinel أو dummy) في قائمة مترابطة؟

  1. Aجعل القائمة مرتبة
  2. Bتبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
  3. Cمنع القائمة من النمو إلى ما يتجاوز حدًّا أقصى ثابتًا من العقد
  4. Dتخزين عدد العناصر
4.هياكل البياناتصعبة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، لماذا يُنفَّذ الحذف غالبًا باستخدام علامة "شاهد القبر" (tombstone)؟

  1. Aتجعل الجدول مرتبًا
  2. Bيجب الاحتفاظ بالمفاتيح المحذوفة إلى الأبد لأسباب أمنية، فلا يعاد استخدام الخانات أبدًا
  3. Cشواهد القبور تسرّع التجزئة
  4. Dإفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
7314194299ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(E) أقصر مسار من A إلى E في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: E
d(E) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n مستوى بعمل ثابت لكل منها، كما في الجمع العودي لعناصر مصفوفة.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

إذا أمكن تحويل مسألة صعبة معروفة إلى X بكفاءة، فإن خوارزمية سريعة لـ X ستحل المسألة المعروفة أيضًا.

الإجابة

B · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل

لماذا هذه هي الإجابة

مع العقدة الحارسة يكون لكل عقدة حقيقية سابقة، فلا يحتاج الإدراج أو الحذف عند الرأس إلى معالجة خاصة.

الإجابة

B · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى

لماذا هذه هي الإجابة

لو أصبحت الخانة المحذوفة فارغة، فقد تتوقف عمليات البحث اللاحقة مبكرًا وتفوّت مفاتيح وُضعت أبعد في سلسلة السبر.

الإجابة

D · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

A, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(E) = 4

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 3
C (3): E: 4
E (4): D: 13, G: 13
B (7): G: 9
G (9)
D (13): F: 17
F (17)

أقصر مسار

A → C → E
d(E) = 4

الإجابة

d(E) = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms