هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لإثبات أن مسألة جديدة X هي NP-صعبة، ماذا يجب أن تفعل؟

  1. Aأن تختزل X إلى مسألة NP-صعبة معروفة في زمن كثير حدود
  2. Bأن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
  3. Cأن تبيّن أنه يمكن التحقق من X في زمن كثير حدود
  4. Dأن تبيّن أن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود للمدخلات الصغيرة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما كلفة إدراج عنصر في منتصف مصفوفة من n عنصر؟

  1. AO(1)، لأن الفهرس معروف
  2. BO(log n)، بسبب البحث الثنائي
  3. CO(n²)، لأن كل عنصر يتحرك n مرة
  4. DO(n)، لأن العناصر اللاحقة يجب أن تُزاح
4.هياكل البياناتصعبة

أي مشكلة من مشكلات التقصّي الخطي تقللها التجزئة المزدوجة أساسًا؟

  1. Aالتكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
  2. Bكلفة O(n) لقراءة قيمة مفتاح
  3. Cالحاجة إلى دالة تجزئة
  4. Dالحاجة إلى تخزين المفاتيح في الجدول
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K4؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K4
H =
6.نظرية البياناتصعبة
1015107453214148ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

يتضاعف عدد الاستدعاءات مع كل مستوى وهناك n مستوى، فيكون المجموع نحو 2ⁿ، كما في أبراج هانوي.

الإجابة

B · O(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

إذا أمكن تحويل مسألة صعبة معروفة إلى X بكفاءة، فإن خوارزمية سريعة لـ X ستحل المسألة المعروفة أيضًا.

الإجابة

B · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(n)، لأن العناصر اللاحقة يجب أن تُزاح

لماذا هذه هي الإجابة

كل العناصر بعد نقطة الإدراج تتحرك موضعًا واحدًا إلى اليمين، وهذا يستغرق وقتًا متناسبًا مع n.

الإجابة

D · O(n)، لأن العناصر اللاحقة يجب أن تُزاح
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة

لماذا هذه هي الإجابة

يتقدم التقصّي الخطي بخطوة 1، فتنمو السلاسل المشغولة وتندمج، أما التجزئة المزدوجة فتستخدم دالة ثانية لحجم الخطوة، فتتقصى المفاتيح المختلفة متتاليات مختلفة.

الإجابة

A · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 3

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

الإجابة

H = 3
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 23

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 10
B (10): C: 25, D: 20, G: 12
G (12): E: 20
D (20): F: 25
E (20): F: 23
F (23)
C (25)

أقصر مسار

A → B → G → E → F
d(F) = 23

الإجابة

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms