هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
  2. Bتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
  3. Cتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
  4. Dتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تكون المسألة NP-كاملة (NP-complete) إذا كانت:

  1. Aتنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود
  2. Bمستحيلة الحل
  3. Cقابلة للحل في زمن كثير الحدود
  4. Dخارج NP لكنها أصعب من جميع مسائل NP، مثل مسألة التوقف
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق التحقق من وجود الحافة (u, v) باستخدام مصفوفة التجاور؟

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.هياكل البياناتصعبة

أي مشكلة من مشكلات التقصّي الخطي تقللها التجزئة المزدوجة أساسًا؟

  1. Aالتكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
  2. Bالحاجة إلى تخزين المفاتيح في الجدول
  3. Cكلفة O(n) لقراءة قيمة مفتاح
  4. Dالحاجة إلى دالة تجزئة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

D · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود

لماذا هذه هي الإجابة

المسائل NP-الكاملة هي الأصعب في NP؛ وخوارزمية كثيرة حدود لإحداها ستعطي خوارزمية كثيرة حدود لكل NP.

الإجابة

A · تنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يخبرك مدخل المصفوفة في الصف u والعمود v فورًا بوجود الحافة، أما قائمة التجاور فقد تحتاج إلى مسح جيران u.

الإجابة

A · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة

لماذا هذه هي الإجابة

يتقدم التقصّي الخطي بخطوة 1، فتنمو السلاسل المشغولة وتندمج، أما التجزئة المزدوجة فتستخدم دالة ثانية لحجم الخطوة، فتتقصى المفاتيح المختلفة متتاليات مختلفة.

الإجابة

A · التكتل الأولي، حيث تتكوّن سلاسل طويلة من الخانات المشغولة
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

A, B, C, E → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms