هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لخوارزمية Bellman–Ford على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  2. Bنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
  3. Cلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
  4. Dنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
3.هياكل البياناتمتوسطة

لعقدة في شجرة بحث ثنائية شجرة فرعية يمنى. أين يقع تاليها في الترتيب الوسطي (in-order successor)؟

  1. Aالعقدة الأقصى يمينًا في شجرتها الفرعية اليسرى
  2. Bابنها الأيمن، دائمًا
  3. Cأبوها، دائمًا
  4. Dالعقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
  2. Bللأعداد فقط
  3. Cمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
  4. Dبإجابات دقيقة دائمًا
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 11 رؤوس و18 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 11|E| = 18
k =
6.نظرية البياناتصعبة
1012451038511ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(V × E)

لماذا هذه هي الإجابة

في كل جولة من الجولات V − 1 تُرخى كل الحواف E، فيكون التعقيد O(VE)، وفي المقابل تتعامل مع أوزان الحواف السالبة.

الإجابة

A · O(V × E)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

C · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى

لماذا هذه هي الإجابة

كل المفاتيح الأكبر القريبة من العقدة في شجرتها الفرعية اليمنى، وأصغرها هو العقدة الأقصى يسارًا هناك.

الإجابة

D · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

C · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 8

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

11 − 1 = 10

الحواف المراد حذفها

k = 18 − 10 = 8

الإجابة

k = 8
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 23

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 10, C: 12
B (10): D: 15, E: 21
C (12)
D (15): E: 18, F: 23
E (18)
F (23)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 23

الإجابة

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms