هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أخذ طرفي كل حافة في تطابق أعظمي (maximal matching) يعطي غطاءً رأسيًا. ما جودة هذا الغطاء؟

  1. Aغطاء رأسي أصغر دائمًا
  2. Bجودته مجهولة مقارنةً بالأمثل
  3. Clog n ضعف الأصغر على الأكثر
  4. Dضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز البعدي؟

  1. A4 2 5 1 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.هياكل البياناتصعبة

ما الميزة الرئيسية لقائمة التخطي (skip list) مقارنةً بقائمة مترابطة مرتبة؟

  1. Aبحث مضمون في O(1) لأن كل عقدة تخزّن مؤشرًا إلى كل عقدة أخرى
  2. Bبحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
  3. Cتخزّن المفاتيح دون ترتيب
  4. Dلا تستخدم ذاكرة إضافية
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 6 رؤوس و9 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 6|E| = 9
k =
6.نظرية البياناتصعبة
1141111271231ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تتنصف المسألة في كل خطوة بعمل ثابت لكل خطوة، فيكون هناك نحو log₂ n خطوة.

الإجابة

C · O(log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

حواف التطابق لا تشترك في رؤوس، فيحتاج الأمثل رأسًا واحدًا على الأقل لكل حافة، بينما تأخذ هذه الطريقة اثنين: تقريب بمعامل 2.

الإجابة

D · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 4 5 2 3 1

لماذا هذه هي الإجابة

يعالج الاجتياز البعدي 4 و5 قبل 2، ثم 3، وأخيرًا الجذر 1.

الإجابة

D · 4 5 2 3 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية

لماذا هذه هي الإجابة

تتيح المستويات العشوائية للبحث تخطي عقد كثيرة، مما يعطي زمنًا متوقعًا قدره O(log n) للبحث والإدراج والحذف.

الإجابة

B · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 4

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

6 − 1 = 5

الحواف المراد حذفها

k = 9 − 5 = 4

الإجابة

k = 4
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 21

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 1, C: 14
B (1): D: 12, G: 13
D (12): E: 14
G (13)
C (14)
E (14): F: 21
F (21)

أقصر مسار

A → B → D → E → F
d(F) = 21

الإجابة

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms