هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مقارنة تقريبًا يحتاجها البحث الثنائي في أسوأ الحالات على مصفوفة مرتبة من 1,000,000 عنصر؟

Aنحو 500,000
Bنحو 100
Cنحو 1,000
Dنحو 20

2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يمكن إيجاد أقصر المسارات البسيطة في زمن كثير حدود. ما المعروف عن إيجاد أطول مسار بسيط بين رأسين في رسم بياني عام؟

Aأنه غير قابل للحسم
Bأنه يمكن حله بخوارزمية Dijkstra مع أوزان معكوسة الإشارة
Cأنه قابل للحل دائمًا في O(V + E)
Dأنه NP-صعب

3.هياكل البياناتمتوسطة

أُدرجت المفاتيح 50، 30، 70، 20، 40 بهذا الترتيب في شجرة بحث ثنائية فارغة. ما الابن الأيسر للعقدة 30؟

4.هياكل البياناتصعبة

دون الاتحاد بالرتبة أو ضغط المسار، ما كلفة عملية find واحدة في أسوأ الحالات في بنية union-find فيها n عنصر؟

AO(log n)
BO(α(n))
CO(n)
DO(1)

5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 19 رؤوس و29 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 19|E| = 29

k =

6.نظرية البياناتصعبة

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 6؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 6

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · نحو 20

لماذا هذه هي الإجابة

2²⁰ ≈ 1,048,576، فبعد نحو 20 تنصيفًا لا يبقى إلا عنصر واحد.

الإجابة

D · نحو 20

2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أنه NP-صعب

لماذا هذه هي الإجابة

المسار البسيط الأطول بطول V − 1 هو مسار هاميلتوني، وهي مسألة NP-تامة، لكنه قابل للحل في زمن خطي على الرسوم البيانية الموجهة عديمة الدورات.

الإجابة

D · أنه NP-صعب

3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 20

لماذا هذه هي الإجابة

20 أصغر من 50 وأصغر من 30، فيصبح الابن الأيسر لـ 30، ويصبح 40 ابنه الأيمن.

الإجابة

A · 20

4.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

الاتحادات الساذجة قد تربط الأشجار في سلسلة طويلة، فقد تتبع find عدد n − 1 من مؤشرات الآباء، والإرشادان يقربان الكلفة من الثابت.

الإجابة

C · O(n)

5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 11

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

19 − 1 = 18

الحواف المراد حذفها

k = 29 − 18 = 11

الإجابة

k = 11

6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): C: 9

2. C (9): B: 14, E: 17, G: 10

3. G (10): D: 17

4. B (14): D: 16

5. D (16): F: 25

6. E (17): F: 19

7. F (19)

الجولة 6

الإجابة

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms