هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

  1. Aأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف
  2. Bالشجرة الممتدة الصغرى
  3. Cأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
  4. Dترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما زمن تنفيذ خوارزمية Dijkstra مع كومة ثنائية على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لديك مرجع إلى عقدة في منتصف قائمة. في أي قائمة يمكنك إزالتها في O(1)؟

  1. Aالمصفوفة المرتبة
  2. Bالمصفوفة الديناميكية
  3. Cالقائمة المترابطة الثنائية
  4. Dالقائمة المترابطة الأحادية
4.هياكل البياناتصعبة

كم يستغرق البحث عن مفتاح اعتباطي في كومة ثنائية صغرى فيها n عنصر؟

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
36104148938ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية

لماذا هذه هي الإجابة

يزور BFS العقد بترتيب بعدها (بعدد الأضلاع) عن المصدر، لذا يجد أقصر المسارات غير الموزونة في O(V + E).

الإجابة

C · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O((V + E) log V)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك V عملية استخراج أصغر وحتى E عملية تخفيض مفتاح، كلٌّ منها O(log V)، وتحسّن كومة فيبوناتشي ذلك إلى O(E + V log V).

الإجابة

C · O((V + E) log V)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · القائمة المترابطة الثنائية

لماذا هذه هي الإجابة

تعرف العقدة في القائمة الثنائية سابقتها، فيمكنك إعادة ربط prev وnext مباشرة، أما القائمة الأحادية فيجب البحث فيها عن السابقة.

الإجابة

C · القائمة المترابطة الثنائية
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تعطي الكومة قاعدة لأي شجرة فرعية تحتوي المفتاح، ففي أسوأ الحالات يجب فحص كل العقد، والأصغر وحده سريع الإيجاد.

الإجابة

A · O(n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

C, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): C: 3
2. C (3): B: 9, E: 7, G: 6
3. G (6)
4. E (7): F: 15
5. B (9): D: 19
6. F (15)
7. D (19)

الجولة 4

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms