هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني المُطفأ (amortised) لإضافة عنصر إلى نهاية مصفوفة ديناميكية تضاعف سعتها عند امتلائها؟

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يمكن إيجاد أقصر المسارات البسيطة في زمن كثير حدود. ما المعروف عن إيجاد أطول مسار بسيط بين رأسين في رسم بياني عام؟

  1. Aأنه NP-صعب
  2. Bأنه غير قابل للحسم
  3. Cأنه يمكن حله بخوارزمية Dijkstra مع أوزان معكوسة الإشارة
  4. Dأنه قابل للحل دائمًا في O(V + E)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لعقدة في شجرة بحث ثنائية شجرة فرعية يمنى. أين يقع تاليها في الترتيب الوسطي (in-order successor)؟

  1. Aالعقدة الأقصى يمينًا في شجرتها الفرعية اليسرى
  2. Bالعقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
  3. Cابنها الأيمن، دائمًا
  4. Dأبوها، دائمًا
4.هياكل البياناتصعبة

دون الاتحاد بالرتبة أو ضغط المسار، ما كلفة عملية find واحدة في أسوأ الحالات في بنية union-find فيها n عنصر؟

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 18 رؤوس و22 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 18|E| = 22
k =
6.نظرية البياناتصعبة
9667912415ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث نسخ جميع العناصر فقط عند قوى العدد اثنين؛ وعند توزيع هذه الكلفة على جميع الإضافات تكون الكلفة المتوسطة لكل إضافة ثابتة.

الإجابة

D · O(1)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أنه NP-صعب

لماذا هذه هي الإجابة

المسار البسيط الأطول بطول V − 1 هو مسار هاميلتوني، وهي مسألة NP-تامة، لكنه قابل للحل في زمن خطي على الرسوم البيانية الموجهة عديمة الدورات.

الإجابة

A · أنه NP-صعب
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى

لماذا هذه هي الإجابة

كل المفاتيح الأكبر القريبة من العقدة في شجرتها الفرعية اليمنى، وأصغرها هو العقدة الأقصى يسارًا هناك.

الإجابة

B · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

الاتحادات الساذجة قد تربط الأشجار في سلسلة طويلة، فقد تتبع find عدد n − 1 من مؤشرات الآباء، والإرشادان يقربان الكلفة من الثابت.

الإجابة

D · O(n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

18 − 1 = 17

الحواف المراد حذفها

k = 22 − 17 = 5

الإجابة

k = 5
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 20

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 9, C: 6
C (6): E: 15
B (9): D: 16
E (15): F: 30
D (16): F: 20
F (20)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 20

الإجابة

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms