هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما زمن تنفيذ الفرز الجذري LSD على n عددًا صحيحًا من d خانة في الأساس k؟

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n log n)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يحقق ضرب كاراتسوبا T(n) = 3T(n/2) + O(n). ما حل هذه العلاقة؟

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aانظر إلى الجذر فقط
  2. Bاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
  3. Cاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  4. Dزُر كل ورقة وقارن بينها
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تتفوق شجرة radix (الـ trie المضغوط) على الـ trie العادي؟

  1. Aتخزّن كل كلمة في جدول تجزئة عند الجذر بدل العقد المنفصلة
  2. Bترتب أبناء كل عقدة بحسب التكرار
  3. Cتدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
  4. Dلا تحتفظ إلا بالحرف الأول من كل كلمة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
91012889982ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(d(n + k))

لماذا هذه هي الإجابة

كل مرور من المرورات d فرز بالعدّ كلفته O(n + k)، فيكون المجموع خطيًا في n عندما تكون d وk ثابتتين.

الإجابة

C · O(d(n + k))
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Θ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 فإن الأوراق تهيمن وفق النظرية الرئيسية، فيتفوق على طريقة الضرب المدرسية O(n²).

الإجابة

C · Θ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

B · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية

لماذا هذه هي الإجابة

طي المسارات التي لا تفرع فيها يقلل عدد العقد والذاكرة المستخدمة مع الإبقاء على البحث بالبادئة.

الإجابة

C · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 13

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13

الإجابة

L = 13

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 9, C: 10
2. B (9): D: 17, E: 11
3. C (10)
4. E (11): F: 19
5. D (17)
6. F (19)

الجولة 4

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms