هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا قد تعطي خوارزمية Dijkstra نتائج خاطئة حين تكون بعض أوزان الحواف سالبة؟

  1. Aلأنها تدخل في حلقة لا نهائية عند كل حافة سالبة
  2. Bلأنها لا تعمل إلا على الرسوم البيانية غير الموجهة
  3. Cلأن الأعداد السالبة لا يمكن تخزينها في طابور أولويات
  4. Dلأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

  1. Aالسبر التربيعي
  2. Bالتجزئة المزدوجة
  3. Cالتسلسل المنفصل (separate chaining)
  4. Dالسبر الخطي
4.هياكل البياناتصعبة

ما التكلفة المستهلكة (amortised) لكل عملية في بنية union-find (المجموعات المنفصلة) مع الدمج حسب الرتبة وضغط المسار؟

  1. AO(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
  2. BO(log n) بالضبط
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 9 رؤوس و14 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 9|E| = 14
k =
6.نظرية البياناتصعبة
712213102413151013ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n مستوى بعمل ثابت لكل منها، كما في الجمع العودي لعناصر مصفوفة.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر

لماذا هذه هي الإجابة

تعتمد الخطوة الجشعة على أوزان غير سالبة لكي تكون المسافات المستخرجة نهائية، وتُستخدم Bellman–Ford حين قد تكون الأوزان سالبة.

الإجابة

D · لأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · التسلسل المنفصل (separate chaining)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ التسلسل بقائمة مترابطة (أو بنية أخرى) لكل دلو، بينما تبحث العنونة المفتوحة عن خانة فارغة أخرى داخل الجدول نفسه.

الإجابة

C · التسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع كلا التحسينين تستغرق العمليات زمنًا مستهلكًا قدره O(α(n))، وα(n) ≤ 4 لأي قيمة واقعية لـ n.

الإجابة

A · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 6

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

9 − 1 = 8

الحواف المراد حذفها

k = 14 − 8 = 6

الإجابة

k = 6
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 23

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 7
C (7): B: 19, E: 20, G: 22
B (19): D: 21
E (20): F: 24
D (21): F: 23
G (22)
F (23)

أقصر مسار

A → C → B → D → F
d(F) = 23

الإجابة

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms