هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية فرز مستقرة؟

  1. Aالفرز بالدمج
  2. Bالفرز بالكومة
  3. Cالفرز السريع (النسخة الموضعية المعتادة)
  4. Dالفرز بالاختيار (النسخة المعتادة)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تضرب خوارزمية ستراسن المصفوفات باستخدام 7 بدل 8 عمليات ضرب عودية لكتل نصف الحجم. ما زمن تنفيذها؟

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(nlog₂ 7)، أي نحو n2,81
  4. DΘ(n³)
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الصحيح بشأن مصفوفة التجاور لمخطط غير موجّه؟

  1. Aأن قطرها الرئيسي يحتوي دائمًا آحادًا
  2. Bأن كل صف فيه 1 واحد بالضبط
  3. Cأنها متناظرة حول القطر الرئيسي
  4. Dأنها مثلثية علوية دائمًا
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aبإجابات دقيقة دائمًا
  2. Bمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
  3. Cللأعداد فقط
  4. Dمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
7187897151ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(D) أقصر مسار من A إلى D في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: D
d(D) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الفرز بالدمج

لماذا هذه هي الإجابة

يكون الفرز بالدمج مستقرًا إذا أخذ الدمج من النصف الأيسر أولًا عند التساوي. أما الفرز السريع الموضعي والفرز بالكومة والفرز بالاختيار فعادةً ليست مستقرة.

الإجابة

A · الفرز بالدمج
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Θ(nlog₂ 7)، أي نحو n2,81

لماذا هذه هي الإجابة

مع a = 7 وb = 2 تهيمن nlog₂ 7 على عمل الجمع O(n²)، فيكون الزمن نحو n2,81.

الإجابة

C · Θ(nlog₂ 7)، أي نحو n2,81
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي

لماذا هذه هي الإجابة

في المخطط غير الموجّه تعني الحافة {u, v} تعيين M[u][v] وM[v][u] معًا، فتساوي المصفوفة منقولها.

الإجابة

C · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

B · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

A, B, F, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(D) = 14

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 1
C (1): E: 9
B (7): D: 14, E: 8
E (8): F: 23
D (14): F: 21
F (21)

أقصر مسار

A → B → D
d(D) = 14

الإجابة

d(D) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms