هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟

  1. Aكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
  2. Bكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
  3. Cمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
  4. Dالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي من مسائل الإرضاء هذه معروف أنه قابل للحل في زمن كثير حدود؟

  1. Aإرضاء الدارات
  2. B2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
  3. C3-SAT، حيث يحتوي كل بند على ثلاثة حرفيّات بالضبط
  4. DSAT العامة على صيغ في الصيغة العادية العطفية
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة صغرى ثنائية (min-heap) مخزّنة في مصفوفة (يبدأ الفهرس من 0)، يقع ابنا العقدة ذات الفهرس i في:

  1. A2i و 2i + 1
  2. Bi + 1 و i + 2
  3. C2i + 1 و 2i + 2
  4. Di/2 و i/2 + 1
4.هياكل البياناتصعبة

أي عبارة عن الفرز بالكومة (heapsort) صحيحة؟

  1. Aيعمل في زمن O(n) على أي مدخل
  2. Bمستقر ويحتاج إلى ذاكرة إضافية O(n)
  3. Cيحتاج إلى شجرة بحث ثنائية بوصفها تخزينًا إضافيًا، فيستخدم O(n) ذاكرة إضافية
  4. Dيفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
154156599ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات

لماذا هذه هي الإجابة

يوزع التحليل المستهلَك كلفة العمليات الغالية النادرة على كثير من العمليات الرخيصة، فيعطي متوسطًا مضمونًا لأي سلسلة.

الإجابة

C · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

2-SAT تنتمي إلى P (زمن خطي عبر المكونات قوية الاتصال)، بينما 3-SAT هي NP-تامة.

الإجابة

B · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 2i + 1 و 2i + 2

لماذا هذه هي الإجابة

في المصفوفات المفهرسة من 0 يقع الابن الأيسر في 2i + 1، والأيمن في 2i + 2، والأب في ⌊(i − 1)/2⌋.

الإجابة

C · 2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر

لماذا هذه هي الإجابة

يبني الفرز بالكومة كومة عظمى ويستخرج الأكبر n مرة داخل المصفوفة نفسها، والتبديلات عبر مسافات طويلة قد تغير ترتيب المفاتيح المتساوية.

الإجابة

D · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 15

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 1
C (1): B: 6, E: 16
B (6): D: 10, E: 15
D (10): F: 15
E (15)
F (15)

أقصر مسار

A → C → B → D → F
d(F) = 15

الإجابة

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms