هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: for j = 1 to i: نفّذ عملًا O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يحتاج أي بحث قائم على المقارنة في مصفوفة مرتبة إلى Ω(log n) مقارنة في أسوأ الحالات؟

  1. Aلأن كل مقارنة تستغرق زمنًا لوغاريتميًا
  2. Bلأن كل عنصر يجب أن يُقارَن مرة واحدة على الأقل
  3. Cلأن البحث الثنائي هو الخوارزمية الوحيدة الممكنة، وهو يحتاج إلى log₂ n مقارنة
  4. Dلأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
3.هياكل البياناتمتوسطة

أُدرجت المفاتيح 50، 30، 70، 20، 40 بهذا الترتيب في شجرة بحث ثنائية فارغة. ما الابن الأيسر للعقدة 30؟

  1. A50
  2. B70
  3. C40
  4. D20
4.هياكل البياناتصعبة

ماذا تفعل شجرة splay بعد كل وصول؟

  1. Aتعيد تلوين العقد على مسار البحث
  2. Bتعيد بناء الشجرة كلها بشكل متوازن
  3. Cتنقل العقدة التي وُصل إليها إلى ورقة
  4. Dتدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
15511161797203ABCDEFG

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس E. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ek = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة CE
  4. 4الحافة DE
  5. 5الحافة EF
  6. 6الحافة GB
  7. 7الحافة GC
  8. 8الحافة GD
  9. 9الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يُنفَّذ الجسم الداخلي n(n + 1) / 2 مرة إجمالًا، وهذا ما زال تربيعيًا.

الإجابة

B · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل

لماذا هذه هي الإجابة

كل مقارنة تنصّف على الأكثر مجموعة الاحتمالات المتبقية، فيحتاج التمييز بين n موضعًا إلى log₂ n مقارنة على الأقل.

الإجابة

D · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 20

لماذا هذه هي الإجابة

20 أصغر من 50 وأصغر من 30، فيصبح الابن الأيسر لـ 30، ويصبح 40 ابنه الأيمن.

الإجابة

D · 20
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · تدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر

لماذا هذه هي الإجابة

ينقل الـ splaying العقدة التي وُصل إليها إلى الجذر عبر دورانات، وقد تكلف عملية واحدة O(n)، لكن الكلفة المستهلَكة O(log n).

الإجابة

D · تدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

A, B, E, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة AB

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. GE (3)
2. GC (7)
3. BC (5)
4. AB (15)
5. DE (16)
6. EF (17)

رقم الحافة 4

AB

الإجابة

الحافة AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms