هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لخوارزمية البرمجة الديناميكية القياسية لأطول تتابع جزئي مشترك لسلسلتين طولهما m وn؟

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لإثبات أن مسألة جديدة X هي NP-صعبة، ماذا يجب أن تفعل؟

  1. Aأن تختزل X إلى مسألة NP-صعبة معروفة في زمن كثير حدود
  2. Bأن تبيّن أنه يمكن التحقق من X في زمن كثير حدود
  3. Cأن تبيّن أن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود للمدخلات الصغيرة
  4. Dأن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

تكون شجرة البادئات (trie) فعّالة بشكل خاص في:

  1. Aتخزين المصفوفات
  2. Bإيجاد أقصر المسارات
  3. Cفرز الأعداد
  4. Dعمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البياناتصعبة

أي بنية تتيح حساب الأكبر في كل نافذة حجمها k في مصفوفة بزمن كلي O(n)؟

  1. Aكومة صغرى يُعاد بناؤها لكل نافذة
  2. Bقائمة مترابطة أحادية لعناصر النافذة
  3. Cمصفوفة مرتبة تُحدَّث بالإزاحة
  4. Ddeque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(mn)

لماذا هذه هي الإجابة

للجدول (m + 1)(n + 1) خلية، وتُحسب كل منها في O(1) من جاراتها.

الإجابة

D · O(mn)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

إذا أمكن تحويل مسألة صعبة معروفة إلى X بكفاءة، فإن خوارزمية سريعة لـ X ستحل المسألة المعروفة أيضًا.

الإجابة

D · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن trie السلاسل حرفًا حرفًا على طول المسارات، لذا يستغرق البحث واستعلامات البادئة زمنًا يتناسب مع طول المفتاح.

الإجابة

D · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة

لماذا هذه هي الإجابة

مقدمة الـ deque هي دائمًا أكبر عناصر النافذة، وكل فهرس يدخل الـ deque ويغادره مرة واحدة، فيكون العمل خطيًا.

الإجابة

D · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms