هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الفرق بين مسألة غير قابلة للحسم ومسألة غير قابلة للمعالجة؟

  1. Aالمسائل غير القابلة للحسم في NP، والمسائل غير القابلة للمعالجة في P
  2. Bالمسائل غير القابلة للمعالجة لا تحلها أي خوارزمية، أما غير القابلة للحسم فتحتاج فقط إلى زمن أسّي
  3. Cالمسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
  4. Dكلاهما يعني أن المسألة ليس لها خوارزمية إطلاقًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

ماذا يحدث حين يُعيد جدول تجزئة التجزئة (rehash) بعد تجاوز معامل تحميله حدًا معينًا؟

  1. Aلا تُنقل إلا المفاتيح المتصادمة إلى قائمة فائض جديدة في نهاية الجدول
  2. Bتُرتَّب المفاتيح الموجودة في مكانها
  3. Cتُحذف أقدم المفاتيح لإفساح المجال
  4. Dيُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي فرز الحواف بحسب الوزن
  2. Bفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
  3. Cفي اختيار رأس البداية
  4. Dفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
710131141591146ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

ليس لمسألة التوقف أي خوارزمية إطلاقًا، أما مسألة NP-صعبة مثل TSP فيمكن حلها بالقوة الغاشمة، لكن ليس في زمن كثير حدود معروف.

الإجابة

C · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الفهرس يُحسب بباقي القسمة على حجم الجدول، يجب إعادة تجزئة كل المفاتيح في الجدول الجديد الأكبر، ومع المضاعفة تبقى الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

D · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

B · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

B, C, E, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 35

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 10
B (7): D: 20, G: 16
C (10): E: 21, G: 11
G (11): E: 17
E (17)
D (20): F: 35
F (35)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 35

الإجابة

d(F) = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms