هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

هل يصح القول إن خوارزمية O(n²) هي أيضًا O(n³)؟

  1. Aلا، لأن O الكبير يجب أن يذكر دائمًا معدل النمو الدقيق للدالة
  2. Bنعم، لأن O الكبير حد أعلى وn² لا تنمو أسرع من n³
  3. Cلا، لأن n³ أصغر من n² عندما تكون n كبيرة
  4. Dنعم، لكن فقط إذا كانت n أصغر من 100
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن P و NP صحيحة؟

  1. Aلا يمكن التحقق من حلول مسائل NP بسرعة
  2. Bثبت أن P ≠ NP
  3. CNP تعني «ليست كثيرة الحدود» (not polynomial)
  4. Dكل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
3.هياكل البياناتمتوسطة

لعقدة في شجرة بحث ثنائية شجرة فرعية يمنى. أين يقع تاليها في الترتيب الوسطي (in-order successor)؟

  1. Aابنها الأيمن، دائمًا
  2. Bالعقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
  3. Cالعقدة الأقصى يمينًا في شجرتها الفرعية اليسرى
  4. Dأبوها، دائمًا
4.هياكل البياناتصعبة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، لماذا يُنفَّذ الحذف غالبًا باستخدام علامة "شاهد القبر" (tombstone)؟

  1. Aتجعل الجدول مرتبًا
  2. Bإفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
  3. Cشواهد القبور تسرّع التجزئة
  4. Dيجب الاحتفاظ بالمفاتيح المحذوفة إلى الأبد لأسباب أمنية، فلا يعاد استخدام الخانات أبدًا
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K6؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K6
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من D إلى B؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · نعم، لأن O الكبير حد أعلى وn² لا تنمو أسرع من n³

لماذا هذه هي الإجابة

O الكبير حد أعلى، فالعبارة صحيحة لكنها غير محكمة، أما Θ(n²) فتعبّر عن معدل النمو الدقيق.

الإجابة

B · نعم، لأن O الكبير حد أعلى وn² لا تنمو أسرع من n³
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP

لماذا هذه هي الإجابة

P ⊆ NP: إذا كنت تستطيع حل مسألة بسرعة فإنك تستطيع التحقق من الحل بسرعة. أما مسألة ما إذا كان P = NP فما زالت مفتوحة.

الإجابة

D · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى

لماذا هذه هي الإجابة

كل المفاتيح الأكبر القريبة من العقدة في شجرتها الفرعية اليمنى، وأصغرها هو العقدة الأقصى يسارًا هناك.

الإجابة

B · العقدة الأقصى يسارًا في شجرتها الفرعية اليمنى
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى

لماذا هذه هي الإجابة

لو أصبحت الخانة المحذوفة فارغة، فقد تتوقف عمليات البحث اللاحقة مبكرًا وتفوّت مفاتيح وُضعت أبعد في سلسلة السبر.

الإجابة

B · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 60

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 1

الإجابة

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms