هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تقنية تعطي زمن تشغيل متوقعًا O(n log n) للفرز السريع على أي مدخلات؟

  1. Aاختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
  2. Bفرز المدخلات قبل تشغيل الفرز السريع
  3. Cاختيار العنصر الأول دائمًا
  4. Dاستخدام العودية على الجانب الأيسر فقط
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما التعقيد الزمني للبحث عن مفتاح في شجرة بحث ثنائية متوازنة؟

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

  1. Aكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
  2. Bطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
  3. Cمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
  4. Dمكدس لكل الحواف المزورة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
144812151563ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

A · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم

لماذا هذه هي الإجابة

مع محور عشوائي يكون زمن التشغيل المتوقع O(n log n) لكل المدخلات؛ وما زالت الحالات السيئة موجودة لكنها مستبعدة جدًا.

الإجابة

A · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

ارتفاع الشجرة المتوازنة نحو log₂ n، لذا يتبع البحث مسارًا واحدًا من الجذر إلى ورقة.

الإجابة

D · O(log n)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

B · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 18, D: 22, E: 17
3. E (17): F: 23
4. C (18)
5. D (22)
6. F (23)

الجولة 3

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms