هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا تنتقل روتينات فرز كثيرة في المكتبات إلى الفرز بالإدراج للمصفوفات الفرعية الصغيرة جدًا؟

  1. Aلأن الفرز بالإدراج O(n log n) في أسوأ الحالات
  2. Bلأن الخوارزميات العودية لا تتعامل مع مصفوفات أقل من 10 عناصر
  3. Cلأن الفرز بالإدراج يستهلك ذاكرة أقل من أي خوارزمية فرز أخرى على المدخلات الكبيرة
  4. Dلأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي حد صحيح لـ log(n!)؟

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تعمل عملية استخراج الأصغر (extract-min) في كومة ثنائية صغرى؟

  1. Aيُزال الجذر وتُزاح كل العناصر موضعًا واحدًا إلى اليسار
  2. Bيُزال العنصر الأخير من المصفوفة
  3. Cيُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
  4. Dيُبحث في كل الأوراق عن الأصغر الجديد
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
  2. Bلإبقاء المصفوفة مرتبة
  3. Cلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
  4. Dلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
53111511121415ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تكون n صغيرة تتفوق حلقة الفرز بالإدراج البسيطة على كلفة العودية في الفرز السريع أو الفرز بالدمج، رغم أنه O(n²).

الإجابة

D · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Θ(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

log(n!) ≤ n log n، والعوامل الـ n / 2 الكبرى تعطي log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)، ولهذا يحتاج الفرز بالمقارنة إلى Ω(n log n).

الإجابة

A · Θ(n log n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل

لماذا هذه هي الإجابة

يملأ العنصر الأخير الفراغ في الجذر ويُبدَّل مع ابنه الأصغر حتى تتحقق خاصية الكومة، ويستغرق ذلك O(log n).

الإجابة

C · يُنقل العنصر الأخير إلى الجذر ويُنزل
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

A · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 32

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 5, C: 3
C (3)
B (5): D: 20, E: 20
D (20): F: 32
E (20)
F (32)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 32

الإجابة

d(F) = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms