هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟

  1. Aالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
  2. Bمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
  3. Cكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
  4. Dكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

  1. Aنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
  2. Bتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
  3. Cغير قابلة للحسم
  4. Dنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aانظر إلى الجذر فقط
  2. Bاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
  3. Cزُر كل ورقة وقارن بينها
  4. Dاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا تستخدم قواعد البيانات غالبًا أشجار B+ بدلًا من أشجار B العادية للفهارس؟

  1. Aلأن أشجار B+ لا تخزّن البيانات إلا في الجذر
  2. Bلأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
  3. Cلأن أشجار B+ تستخدم عقدًا داخلية ثنائية، ما يقلل عدد قراءات القرص
  4. Dلأن أشجار B+ لا تحتاج إلى التوازن
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
271410321314ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات

لماذا هذه هي الإجابة

يوزع التحليل المستهلَك كلفة العمليات الغالية النادرة على كثير من العمليات الرخيصة، فيعطي متوسطًا مضمونًا لأي سلسلة.

الإجابة

B · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة

لماذا هذه هي الإجابة

"هل توجد جولة طولها k على الأكثر؟" مسألة NP-تامة، وإيجاد أقصر جولة NP-صعب، لأنه بالصعوبة نفسها على الأقل.

الإجابة

A · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

B · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا

لماذا هذه هي الإجابة

في شجرة B+ لا توجّه العقد الداخلية إلا البحث، والأوراق مترابطة بترتيب المفاتيح، فيجد استعلام المدى المفتاح الأول ثم يسير على طول الأوراق.

الإجابة

B · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

C, E, F, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 24

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 2, C: 7
B (2): D: 12
C (7): E: 10
E (10): F: 24
D (12)
F (24)

أقصر مسار

A → C → E → F
d(F) = 24

الإجابة

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms