هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مصفوفة مرتبة تبحث عن عنصرين مجموعهما يساوي هدفًا بتحريك مؤشر من كل طرف نحو الداخل. ما التعقيد الزمني؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة NP صحيح؟

  1. Aالمسائل غير كثيرة الحدود
  2. Bالمسائل التي لا تستطيع أي خوارزمية حلها
  3. Cمسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
  4. Dالمسائل التي لا يمكن حلها في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم من الذاكرة تستخدم مصفوفة التجاور لمخطط ذي V رأسًا؟

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

  1. Aمستوى بعد مستوى وحده
  2. Bالقبلي والوسطي
  3. Cالقبلي وحده
  4. Dالقبلي والبعدي
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
115131588467ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان المجموع صغيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيسر يمينًا، وإذا كان كبيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيمن يسارًا، فيكون هناك n خطوة على الأكثر.

الإجابة

C · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة

لماذا هذه هي الإجابة

في مسألة NP يمكن التحقق بسرعة من حل مقترح (شهادة)، مثل التحقق من أن تعيينًا معطى يحقق صيغة بوليانية.

الإجابة

C · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن مصفوفة التجاور V × V مدخلًا، وهي فعّالة للمخططات الكثيفة؛ أما قوائم التجاور فتستخدم O(V + E) وهي أفضل للمخططات المتفرقة.

الإجابة

A · O(V²)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · القبلي والوسطي

لماذا هذه هي الإجابة

يعطي الاجتياز القبلي الجذر، وموضعه في المتتالية الوسطية يفصل الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى، أما القبلي مع البعدي فملتبس حين يكون للعقدة ابن واحد.

الإجابة

B · القبلي والوسطي
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 11, C: 5
2. C (5): E: 13
3. B (11): D: 26
4. E (13): D: 21, F: 19
5. F (19)
6. D (21)

الجولة 4

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms