هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الخوارزمية الجشعة (Greedy):

  1. Aتعطي الحل الأمثل دائمًا
  2. Bتجرّب كل حل ممكن
  3. Cتستخدم العودية فقط
  4. Dتتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لإثبات أن مسألة جديدة X هي NP-صعبة، ماذا يجب أن تفعل؟

  1. Aأن تبيّن أن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود للمدخلات الصغيرة
  2. Bأن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
  3. Cأن تختزل X إلى مسألة NP-صعبة معروفة في زمن كثير حدود
  4. Dأن تبيّن أنه يمكن التحقق من X في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

أُدرجت المفاتيح 50، 30، 70، 20، 40 بهذا الترتيب في شجرة بحث ثنائية فارغة. ما الابن الأيسر للعقدة 30؟

  1. A50
  2. B40
  3. C20
  4. D70
4.هياكل البياناتصعبة

أي خاصية تُبقي كل شجرة B متوازنة تمامًا؟

  1. Aلكل عقدة ابنان بالضبط
  2. Bكل الأوراق على العمق نفسه
  3. Cتخزّن كل عقدة مفتاحًا واحدًا
  4. Dالمفاتيح لا تُخزَّن إلا في الجذر
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
81291514131410ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة

لماذا هذه هي الإجابة

الخوارزميات الجشعة سريعة ومثلى لبعض المسائل (مثل خوارزمية ديكسترا وترميز هوفمان)، لكنها ليست كذلك عمومًا (مثل مسألة صرف النقود مع بعض أنظمة القطع النقدية).

الإجابة

D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

إذا أمكن تحويل مسألة صعبة معروفة إلى X بكفاءة، فإن خوارزمية سريعة لـ X ستحل المسألة المعروفة أيضًا.

الإجابة

B · أن تختزل مسألة NP-صعبة معروفة إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 20

لماذا هذه هي الإجابة

20 أصغر من 50 وأصغر من 30، فيصبح الابن الأيسر لـ 30، ويصبح 40 ابنه الأيمن.

الإجابة

C · 20
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · كل الأوراق على العمق نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

تنقسم العقد إلى الأعلى حين تمتلئ، ولا يزداد ارتفاع الشجرة إلا حين ينقسم الجذر، فتبقى الأوراق كلها دائمًا على المستوى نفسه.

الإجابة

B · كل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 10

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

الإجابة

L = 10

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 30

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 8, C: 12
B (8): D: 17, E: 18
C (12)
D (17): F: 30
E (18)
F (30)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 30

الإجابة

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms