هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يعني أن لمسألة بنية فرعية مثلى؟

  1. Aأن للمسألة حلًا أمثل واحدًا بالضبط تشترك فيه كل مسألة فرعية
  2. Bأنه يمكن حل المسألة في زمن ثابت
  3. Cأن لكل المسائل الفرعية الحجم نفسه
  4. Dأنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يحتاج أي بحث قائم على المقارنة في مصفوفة مرتبة إلى Ω(log n) مقارنة في أسوأ الحالات؟

  1. Aلأن كل مقارنة تستغرق زمنًا لوغاريتميًا
  2. Bلأن البحث الثنائي هو الخوارزمية الوحيدة الممكنة، وهو يحتاج إلى log₂ n مقارنة
  3. Cلأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
  4. Dلأن كل عنصر يجب أن يُقارَن مرة واحدة على الأقل
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق البحث عن كلمة طولها L في trie بأبجدية ثابتة؟

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n)، حيث n عدد الكلمات
  3. CO(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
  4. DO(n)، حيث n عدد الكلمات
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تكشف ما إذا كانت قائمة مترابطة أحادية تحتوي دورة باستخدام ذاكرة إضافية O(1)؟

  1. Aرتب القائمة وابحث عن التكرارات
  2. Bخزّن كل عقدة مزورة في مجموعة تجزئة
  3. Cعُدّ العقد حتى يتجاوز العدد حقل طول القائمة
  4. Dحرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
915141312447121ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(C) أقصر مسار من A إلى C في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: C
d(C) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية

لماذا هذه هي الإجابة

البنية الفرعية المثلى شرط لكي تعطي الخوارزميات الجشعة والبرمجة الديناميكية إجابات صحيحة.

الإجابة

D · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل

لماذا هذه هي الإجابة

كل مقارنة تنصّف على الأكثر مجموعة الاحتمالات المتبقية، فيحتاج التمييز بين n موضعًا إلى log₂ n مقارنة على الأقل.

الإجابة

C · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة

لماذا هذه هي الإجابة

كل حرف يختار ابنًا واحدًا، فيستغرق البحث L خطوة أيًا كان عدد الكلمات في الـ trie.

الإجابة

C · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · حرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا

لماذا هذه هي الإجابة

في خوارزمية Floyd، إذا وُجدت دورة يلحق المؤشر السريع في النهاية بالبطيء، وإلا يصل المؤشر السريع إلى null.

الإجابة

D · حرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 11

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

الإجابة

L = 11

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(C) = 10

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 9, C: 15
B (9): C: 10, D: 13, G: 16
C (10): E: 23
D (13): F: 17, G: 14
G (14)
F (17): E: 21
E (21)

أقصر مسار

A → B → C
d(C) = 10

الإجابة

d(C) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms