هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي خوارزمية تجد شجرة ممتدة صغرى بإضافة أرخص ضلع لا يُكوّن دورة بشكل متكرر؟

  1. Aخوارزمية كروسكال
  2. Bخوارزمية بريم بدءًا من عقدة واحدة
  3. Cخوارزمية ديكسترا
  4. Dخوارزمية فلويد–وارشال
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة صغرى ثنائية (min-heap) مخزّنة في مصفوفة (يبدأ الفهرس من 0)، يقع ابنا العقدة ذات الفهرس i في:

  1. A2i + 1 و 2i + 2
  2. B2i و 2i + 1
  3. Ci + 1 و i + 2
  4. Di/2 و i/2 + 1
4.هياكل البياناتصعبة

ما الخاصية التي يجب أن تحققها الشجرة الحمراء-السوداء؟

  1. Aيجب أن تكون كل عقدة حمراء
  2. Bيجب أن يكون لكل عقدة حمراء أبناء حمر، فتشكّل العقد الحمراء سلاسل متصلة حتى الأوراق
  3. Cكل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
  4. Dيجب أن يكون الجذر أحمر
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
1917321515181674ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 11
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

يتضاعف عدد الاستدعاءات مع كل مستوى وهناك n مستوى، فيكون المجموع نحو 2ⁿ، كما في أبراج هانوي.

الإجابة

D · O(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · خوارزمية كروسكال

لماذا هذه هي الإجابة

ترتب خوارزمية كروسكال الأضلاع حسب الوزن وتضيفها إذا كانت تربط مكونات مختلفة؛ بينما تنمّي خوارزمية بريم شجرة واحدة من رأس بداية.

الإجابة

A · خوارزمية كروسكال
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 2i + 1 و 2i + 2

لماذا هذه هي الإجابة

في المصفوفات المفهرسة من 0 يقع الابن الأيسر في 2i + 1، والأيمن في 2i + 2، والأب في ⌊(i − 1)/2⌋.

الإجابة

A · 2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء

لماذا هذه هي الإجابة

قواعد الشجرة الحمراء-السوداء: العقد حمراء أو سوداء، والجذر أسود، وأبناء العقد الحمراء سود، ولجميع المسارات الارتفاع الأسود نفسه، مما يبقي الارتفاع ≤ 2 log₂(n + 1).

الإجابة

C · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 32

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

CE (1): خذ
BD (2): خذ
BC (3): خذ
GE (4): خذ
DF (5): خذ
GD (7): تخطَّ، تُغلق دورة
EF (15): تخطَّ، تُغلق دورة
GC (16): تخطَّ، تُغلق دورة
AC (17): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 17 = 32

الإجابة

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms