هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
  2. Bتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  3. Cتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
  4. Dتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي أمرين يجب إثباتهما لإثبات أن مسألة القرار X هي NP-تامة؟

  1. Aأن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
  2. Bأن X تُختزل إلى مسألة في P، وأن X تنتمي إلى NP
  3. Cأن X تنتمي إلى P، وأن X تُختزل إلى SAT
  4. Dأن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود، وأن X قابلة للحسم
3.هياكل البياناتمتوسطة

ماذا يحدث حين يُعيد جدول تجزئة التجزئة (rehash) بعد تجاوز معامل تحميله حدًا معينًا؟

  1. Aتُرتَّب المفاتيح الموجودة في مكانها
  2. Bتُحذف أقدم المفاتيح لإفساح المجال
  3. Cلا تُنقل إلا المفاتيح المتصادمة إلى قائمة فائض جديدة في نهاية الجدول
  4. Dيُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
  2. Bلإبقاء المصفوفة مرتبة
  3. Cلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
  4. Dلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K6؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K6
H =
6.نظرية البياناتصعبة
12210914941543ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(G) أقصر مسار من A إلى G في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: G
d(G) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

B · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

يبيّن الانتماء إلى NP أن X ليست أصعب من NP، ويبيّن الاختزال من مسألة NP-تامة معروفة أن X بصعوبة كل NP على الأقل.

الإجابة

A · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الفهرس يُحسب بباقي القسمة على حجم الجدول، يجب إعادة تجزئة كل المفاتيح في الجدول الجديد الأكبر، ومع المضاعفة تبقى الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

D · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

A · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 60

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(G) = 16

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 12, C: 2
C (2): G: 17
B (12): G: 16
G (16): D: 20, E: 19
E (19): F: 28
D (20)
F (28)

أقصر مسار

A → B → G
d(G) = 16

الإجابة

d(G) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms