هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بجدول تصاعدي (من الأسفل إلى الأعلى)؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

  1. Aتنموان بالمعدل نفسه
  2. Bn! هي O(n²)
  3. Cn! تنمو أسرع من 2ⁿ
  4. D2ⁿ تنمو أسرع من n!
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف يُدرج عنصر جديد في كومة ثنائية؟

  1. Aيُدرج في موضعه المرتب بإزاحة كل العناصر الأكبر منه موضعًا واحدًا إلى اليمين
  2. Bيوضع في الجذر ويُنزل (sift down)
  3. Cيُعاد بناء الكومة كلها من البداية
  4. Dيوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تتفوق شجرة radix (الـ trie المضغوط) على الـ trie العادي؟

  1. Aتخزّن كل كلمة في جدول تجزئة عند الجذر بدل العقد المنفصلة
  2. Bلا تحتفظ إلا بالحرف الأول من كل كلمة
  3. Cترتب أبناء كل عقدة بحسب التكرار
  4. Dتدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
164201481991312ABCDEFG

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة DF
  6. 6الحافة EF
  7. 7الحافة GB
  8. 8الحافة GC
  9. 9الحافة GD

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

يستغرق ملء الجدول من 0 إلى n عملية جمع واحدة لكل مدخل، فيكون العمل خطيًا بدلًا من أسّي.

الإجابة

B · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ

لماذا هذه هي الإجابة

عندما n ≥ 4 تتجاوز n! قيمة 2ⁿ، وتنمو النسبة بلا حد لأن كل عامل إضافي في n! أكبر من 2.

الإجابة

C · n! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة

لماذا هذه هي الإجابة

الإضافة في النهاية تُبقي الشجرة تامة، والتبديل مع الأب يعيد الترتيب في O(log n) خطوة.

الإجابة

D · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية

لماذا هذه هي الإجابة

طي المسارات التي لا تفرع فيها يقلل عدد العقد والذاكرة المستخدمة مع الإبقاء على البحث بالبادئة.

الإجابة

D · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة GD

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. AC (4)
2. DF (8)
3. GB (9)
4. GD (12)
5. GC (13)
6. EF (19)

رقم الحافة 4

GD

الإجابة

الحافة GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms