هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا لا تعطي البرمجة الديناميكية تسريعًا حقيقيًا للفرز بالدمج؟

  1. Aلأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
  2. Bلأن الفرز بالدمج ليس له بنية عودية
  3. Cلأن الفرز بالدمج O(n) أصلًا
  4. Dلأن البرمجة الديناميكية لا تعمل إلا على مسائل الرسوم البيانية، لا على المصفوفات
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا لا يعطي البحث الثنائي زمن O(log n) على قائمة مترابطة أحادية؟

  1. Aلأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
  2. Bلأن المقارنات على عقد القائمة المترابطة أبطأ
  3. Cلأن القوائم المترابطة لا يمكن فرزها
  4. Dلأن البحث الثنائي يحتاج إلى ضعف الذاكرة على الأقل
3.هياكل البياناتمتوسطة

في طابور دائري مخزّن في مصفوفة سعتها n، كيف يُحسب الموضع التالي بعد الفهرس i؟

  1. A2i + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.هياكل البياناتصعبة

التعقيد الزمني لعملية decrease-key في الكومة الثنائية (مع معرفة موضع العنصر) هو:

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
349112172ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(D) أقصر مسار من A إلى D في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: D
d(D) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه

لماذا هذه هي الإجابة

نصفا الفرز بالدمج منفصلان ويُحل كل منهما مرة واحدة، والبرمجة الديناميكية لا تفيد إلا حين تتكرر المسائل الفرعية، كما في فيبوناتشي.

الإجابة

A · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج البحث الثنائي إلى وصول O(1) إلى العنصر الأوسط، وفي القائمة المترابطة يكلف السير إليه زمنًا خطيًا، فيكون المجموع O(n).

الإجابة

A · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · (i + 1) mod n

لماذا هذه هي الإجابة

تُعيد عملية الباقي (modulo) الفهرس n − 1 إلى 0، فيُعاد استخدام المصفوفة دون إزاحة العناصر.

الإجابة

B · (i + 1) mod n
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

بعد إنقاص المفتاح يصعد العنصر بما لا يتجاوز ارتفاع الكومة. تحقق كومات فيبوناتشي decrease-key في O(1) مستهلك.

الإجابة

A · O(log n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(D) = 4

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3, C: 4
B (3): D: 4, E: 5
C (4)
D (4): F: 5
E (5)
F (5)

أقصر مسار

A → B → D
d(D) = 4

الإجابة

d(D) = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms