هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تُنفِّذ دالة حلقة من n تكرارًا، ثم بشكل منفصل حلقة أخرى من n تكرارًا. ما تعقيدها الزمني؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا لا يعطي البحث الثنائي زمن O(log n) على قائمة مترابطة أحادية؟

  1. Aلأن المقارنات على عقد القائمة المترابطة أبطأ
  2. Bلأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
  3. Cلأن القوائم المترابطة لا يمكن فرزها
  4. Dلأن البحث الثنائي يحتاج إلى ضعف الذاكرة على الأقل
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

  1. A10
  2. B24
  3. C11
  4. D14
4.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
  2. Bدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  3. Cدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
  4. Dدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
1841415381712ABCDEF

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 3
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

n + n = 2n، وتُسقط المعاملات الثابتة، فتكون الدالة O(n).

الإجابة

B · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج البحث الثنائي إلى وصول O(1) إلى العنصر الأوسط، وفي القائمة المترابطة يكلف السير إليه زمنًا خطيًا، فيكون المجموع O(n).

الإجابة

B · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 14

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع 3 و4، فيعطي + القيمة 7، ثم ادفع 2، فيعطي * القيمة 7 × 2 = 14.

الإجابة

D · 14
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل الدوران الأول حالة يسار-يمين إلى حالة يسار-يسار، ثم يصلحها دوران إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة.

الإجابة

B · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. DE (3)
2. AC (4)
3. DF (8)
4. BE (12)
5. BC (14)

رقم الحافة 3

DF

الإجابة

الحافة DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms