هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) نفّذ عملًا O(1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات تُستخدم للتحقق من توازن الأقواس في "{[()]}"؟

  1. Aشجرة البحث الثنائية
  2. Bجدول التجزئة
  3. Cالمكدس
  4. Dالطابور
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تتفوق شجرة radix (الـ trie المضغوط) على الـ trie العادي؟

  1. Aلا تحتفظ إلا بالحرف الأول من كل كلمة
  2. Bتدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
  3. Cترتب أبناء كل عقدة بحسب التكرار
  4. Dتخزّن كل كلمة في جدول تجزئة عند الجذر بدل العقد المنفصلة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من B إلى D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n مستوى بعمل ثابت لكل منها، كما في الجمع العودي لعناصر مصفوفة.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

المجموع n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn، والعدد التوافقي Hn هو Θ(log n).

الإجابة

B · O(n log n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · المكدس

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع كل قوس فتح (push) واسحب (pop) عند ظهور قوس إغلاق، ويجب أن يطابق القوس المسحوب، وأن يكون المكدس فارغًا في النهاية.

الإجابة

C · المكدس
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية

لماذا هذه هي الإجابة

طي المسارات التي لا تفرع فيها يقلل عدد العقد والذاكرة المستخدمة مع الإبقاء على البحث بالبادئة.

الإجابة

B · تدمج سلاسل العقد ذات الابن الواحد في حافة واحدة موسومة بسلسلة نصية
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 5

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)BD = 1·0 + 3·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 = 5

الإجابة

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms