هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

  1. Aمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
  2. Bلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
  3. Cحلقة واحدة
  4. Dمدخلات عشوائية فقط
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا لا يعطي البحث الثنائي زمن O(log n) على قائمة مترابطة أحادية؟

  1. Aلأن البحث الثنائي يحتاج إلى ضعف الذاكرة على الأقل
  2. Bلأن القوائم المترابطة لا يمكن فرزها
  3. Cلأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
  4. Dلأن المقارنات على عقد القائمة المترابطة أبطأ
3.هياكل البياناتمتوسطة

أُدرجت المفاتيح 50، 30، 70، 20، 40 بهذا الترتيب في شجرة بحث ثنائية فارغة. ما الابن الأيسر للعقدة 30؟

  1. A20
  2. B50
  3. C40
  4. D70
4.هياكل البياناتصعبة

أي بنية تتيح حساب الأكبر في كل نافذة حجمها k في مصفوفة بزمن كلي O(n)؟

  1. Aقائمة مترابطة أحادية لعناصر النافذة
  2. Bمصفوفة مرتبة تُحدَّث بالإزاحة
  3. Cكومة صغرى يُعاد بناؤها لكل نافذة
  4. Ddeque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
14218117101333ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(G) أقصر مسار من A إلى G في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: G
d(G) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

لماذا هذه هي الإجابة

تخزين نتائج المسائل الفرعية المتداخلة (التذكير memoisation أو الجدولة tabulation) يتجنب العمل المكرر، فيحوّل الخوارزميات الأسّية إلى خوارزميات كثيرة الحدود.

الإجابة

A · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج البحث الثنائي إلى وصول O(1) إلى العنصر الأوسط، وفي القائمة المترابطة يكلف السير إليه زمنًا خطيًا، فيكون المجموع O(n).

الإجابة

C · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 20

لماذا هذه هي الإجابة

20 أصغر من 50 وأصغر من 30، فيصبح الابن الأيسر لـ 30، ويصبح 40 ابنه الأيمن.

الإجابة

A · 20
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة

لماذا هذه هي الإجابة

مقدمة الـ deque هي دائمًا أكبر عناصر النافذة، وكل فهرس يدخل الـ deque ويغادره مرة واحدة، فيكون العمل خطيًا.

الإجابة

D · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 14

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

الإجابة

L = 14

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(G) = 20

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 14
B (14): C: 16, G: 24
C (16): E: 17
E (17): D: 25, F: 24, G: 20
G (20): D: 23
D (23)
F (24)

أقصر مسار

A → B → C → E → G
d(G) = 20

الإجابة

d(G) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms