هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

باستخدام المبرهنة الرئيسية (master theorem)، حل T(n) = 8T(n/2) + O(n²) هو:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

  1. Aالسبر التربيعي
  2. Bالتسلسل المنفصل (separate chaining)
  3. Cالتجزئة المزدوجة
  4. Dالسبر الخطي
4.هياكل البياناتصعبة

ما التكلفة المستهلكة (amortised) لكل عملية في بنية union-find (المجموعات المنفصلة) مع الدمج حسب الرتبة وضغط المسار؟

  1. AO(log n) بالضبط
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
  4. DO(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
164117432ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

C · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Θ(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

log₂ 8 = 3، و n² تنمو أبطأ من n³، لذا تهيمن الأوراق: Θ(n³).

الإجابة

C · Θ(n³)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · التسلسل المنفصل (separate chaining)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ التسلسل بقائمة مترابطة (أو بنية أخرى) لكل دلو، بينما تبحث العنونة المفتوحة عن خانة فارغة أخرى داخل الجدول نفسه.

الإجابة

B · التسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع كلا التحسينين تستغرق العمليات زمنًا مستهلكًا قدره O(α(n))، وα(n) ≤ 4 لأي قيمة واقعية لـ n.

الإجابة

C · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 14

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 1, C: 6
B (1): C: 5, D: 12
C (5): E: 12
D (12): F: 15
E (12): F: 14
F (14)

أقصر مسار

A → B → C → E → F
d(F) = 14

الإجابة

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms