هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني المُطفأ (amortised) لإضافة عنصر إلى نهاية مصفوفة ديناميكية تضاعف سعتها عند امتلائها؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تكون المسألة NP-كاملة (NP-complete) إذا كانت:

  1. Aمستحيلة الحل
  2. Bخارج NP لكنها أصعب من جميع مسائل NP، مثل مسألة التوقف
  3. Cتنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود
  4. Dقابلة للحل في زمن كثير الحدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aطابور ثابت الحجم
  2. Bشجرة بحث ثنائية
  3. Cاجتياز مخطط
  4. Dدالة تجزئة
4.هياكل البياناتصعبة

ماذا تفعل شجرة splay بعد كل وصول؟

  1. Aتعيد تلوين العقد على مسار البحث
  2. Bتدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر
  3. Cتنقل العقدة التي وُصل إليها إلى ورقة
  4. Dتعيد بناء الشجرة كلها بشكل متوازن
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 3 يذهب من C إلى D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث نسخ جميع العناصر فقط عند قوى العدد اثنين؛ وعند توزيع هذه الكلفة على جميع الإضافات تكون الكلفة المتوسطة لكل إضافة ثابتة.

الإجابة

C · O(1)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · تنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود

لماذا هذه هي الإجابة

المسائل NP-الكاملة هي الأصعب في NP؛ وخوارزمية كثيرة حدود لإحداها ستعطي خوارزمية كثيرة حدود لكل NP.

الإجابة

C · تنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

A · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · تدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر

لماذا هذه هي الإجابة

ينقل الـ splaying العقدة التي وُصل إليها إلى الجذر عبر دورانات، وقد تكلف عملية واحدة O(n)، لكن الكلفة المستهلَكة O(log n).

الإجابة

B · تدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

D, F → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)CD = 0·0 + 2·1 + 2·0 + 1·0 + 0·1 + 1·1 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms