هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

  1. Aأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
  2. Bأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف
  3. Cترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
  4. Dالشجرة الممتدة الصغرى
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
  2. Bلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  3. Cنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  4. Dلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق البحث عن كلمة طولها L في trie بأبجدية ثابتة؟

  1. AO(L × n)
  2. BO(n)، حيث n عدد الكلمات
  3. CO(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
  4. DO(log n)، حيث n عدد الكلمات
4.هياكل البياناتصعبة

كيف تكشف ما إذا كانت قائمة مترابطة أحادية تحتوي دورة باستخدام ذاكرة إضافية O(1)؟

  1. Aعُدّ العقد حتى يتجاوز العدد حقل طول القائمة
  2. Bحرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا
  3. Cخزّن كل عقدة مزورة في مجموعة تجزئة
  4. Dرتب القائمة وابحث عن التكرارات
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K4؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K4
H =
6.نظرية البياناتصعبة
101914159131ABCDE

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية

لماذا هذه هي الإجابة

يزور BFS العقد بترتيب بعدها (بعدد الأضلاع) عن المصدر، لذا يجد أقصر المسارات غير الموزونة في O(V + E).

الإجابة

A · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

D · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة

لماذا هذه هي الإجابة

كل حرف يختار ابنًا واحدًا، فيستغرق البحث L خطوة أيًا كان عدد الكلمات في الـ trie.

الإجابة

C · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · حرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا

لماذا هذه هي الإجابة

في خوارزمية Floyd، إذا وُجدت دورة يلحق المؤشر السريع في النهاية بالبطيء، وإلا يصل المؤشر السريع إلى null.

الإجابة

B · حرّك مؤشرًا خطوة واحدة ومؤشرًا آخر خطوتين وتحقق مما إذا التقيا
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 3

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

الإجابة

H = 3
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BE (1)
2. CE (9)
3. AB (10)
4. DE (13)

رقم الحافة 4

DE

الإجابة

الحافة DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms