هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تُظهر مسألة التوقف أنه:

  1. Aلا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف
  2. Bيجب تجنب الحلقات
  3. Cكل برنامج يتوقف في النهاية
  4. Dبعض البرامج تعمل أسرع على حواسيب أسرع، فيعتمد التوقف على العتاد
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات يستخدمها البرنامج قيد التشغيل لتتبع استدعاءات الدوال النشطة ومتغيراتها المحلية؟

  1. Aمكدس الاستدعاءات (call stack)
  2. Bجدول تجزئة للدوال
  3. Cشجرة بحث ثنائية للإطارات
  4. Dطابور ذاكرة الكومة
4.هياكل البياناتصعبة

ما الميزة الرئيسية لقائمة التخطي (skip list) مقارنةً بقائمة مترابطة مرتبة؟

  1. Aبحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
  2. Bتخزّن المفاتيح دون ترتيب
  3. Cلا تستخدم ذاكرة إضافية
  4. Dبحث مضمون في O(1) لأن كل عقدة تخزّن مؤشرًا إلى كل عقدة أخرى
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
39113111561215ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(G) أقصر مسار من A إلى G في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: G
d(G) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق النظرية الرئيسية تهيمن nlog₂ 2 = n على العمل الثابت، فيكون T(n) = Θ(n)، كما في إيجاد القيمة العظمى بالتقسيم إلى نصفين.

الإجابة

C · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف

لماذا هذه هي الإجابة

أثبت تورنغ أن مسألة التوقف غير قابلة للحسم: افتراض وجود خوارزمية حاسمة يؤدي إلى تناقض مع برنامج يفعل عكس ما تتنبأ به.

الإجابة

A · لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · مكدس الاستدعاءات (call stack)

لماذا هذه هي الإجابة

كل استدعاء يدفع إطارًا وكل عودة تسحبه، ولهذا ينتهي الاستدعاء الأحدث أولًا.

الإجابة

A · مكدس الاستدعاءات (call stack)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية

لماذا هذه هي الإجابة

تتيح المستويات العشوائية للبحث تخطي عقد كثيرة، مما يعطي زمنًا متوقعًا قدره O(log n) للبحث والإدراج والحذف.

الإجابة

A · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

الرؤوس الفردية

A, F → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(G) = 9

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3
B (3): C: 12, D: 14, G: 9
G (9): E: 24
C (12): E: 15
D (14): F: 25
E (15)
F (25)

أقصر مسار

A → B → G
d(G) = 9

الإجابة

d(G) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms