هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي عبارة صحيحة عن دالة عودية ليس لها حالة أساس قابلة للبلوغ؟

  1. Aتواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
  2. Bتعمل في زمن O(1)
  3. Cيحولها المترجم دائمًا إلى حلقة تنتهي بأمان
  4. Dتُرجع 0 تلقائيًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة المستهلَكة لزيادة عدّاد ثنائي بمقدار واحد، علمًا بأن زيادة واحدة قد تقلب بتات كثيرة؟

  1. AO(n log n) لكل زيادة
  2. BO(1) لكل زيادة
  3. CO(log n) لكل زيادة
  4. DO(n) لكل زيادة
3.هياكل البياناتمتوسطة

ماذا يحدث حين يُعيد جدول تجزئة التجزئة (rehash) بعد تجاوز معامل تحميله حدًا معينًا؟

  1. Aيُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
  2. Bتُرتَّب المفاتيح الموجودة في مكانها
  3. Cتُحذف أقدم المفاتيح لإفساح المجال
  4. Dلا تُنقل إلا المفاتيح المتصادمة إلى قائمة فائض جديدة في نهاية الجدول
4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

  1. Aطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
  2. Bمكدس لكل الحواف المزورة
  3. Cمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
  4. Dكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
210312151415ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات

لماذا هذه هي الإجابة

بدون حالة أساس لا تتوقف العودية أبدًا، وعمليًا تنفد ذاكرة إطارات المكدّس ويتعطل البرنامج.

الإجابة

A · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(1) لكل زيادة

لماذا هذه هي الإجابة

على مدى n زيادة ينقلب البت i نحو n / 2ⁱ مرة، فيكون المجموع أقل من 2n قلبًا، أي متوسط O(1) لكل زيادة.

الإجابة

B · O(1) لكل زيادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الفهرس يُحسب بباقي القسمة على حجم الجدول، يجب إعادة تجزئة كل المفاتيح في الجدول الجديد الأكبر، ومع المضاعفة تبقى الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

A · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 18

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 34 = 2(L + 9) − 2
L = 18

الإجابة

L = 18

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: C

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 2, C: 10
2. B (2): C: 5, E: 17
3. C (5)
4. E (17): D: 32, F: 21
5. F (21): D: 22
6. D (22)

الجولة 3

C

الإجابة

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms