هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي أمرين يجب إثباتهما لإثبات أن مسألة القرار X هي NP-تامة؟

  1. Aأن X تُختزل إلى مسألة في P، وأن X تنتمي إلى NP
  2. Bأن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود، وأن X قابلة للحسم
  3. Cأن X تنتمي إلى P، وأن X تُختزل إلى SAT
  4. Dأن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

تكون شجرة البادئات (trie) فعّالة بشكل خاص في:

  1. Aتخزين المصفوفات
  2. Bعمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
  3. Cإيجاد أقصر المسارات
  4. Dفرز الأعداد
4.هياكل البياناتصعبة

خُزّن كائن مفتاحًا في خريطة تجزئة، ثم غُيّر حقل تستخدمه دالة تجزئته. ما النتيجة المرجحة؟

  1. Aتُطلق الخريطة خطأً لحظة تغيّر الحقل
  2. Bتنقل الخريطة المفتاح تلقائيًا إلى دلوه الجديد
  3. Cلا يتغير شيء، لأن تجزئة المفتاح تُحسب مرة واحدة فقط عند بدء البرنامج
  4. Dقد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند B؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تُنفَّذ الحلقة الداخلية نحو log₂ n مرة لكل من تكرارات الحلقة الخارجية الـ n، فيكون التعقيد O(n log n).

الإجابة

C · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

يبيّن الانتماء إلى NP أن X ليست أصعب من NP، ويبيّن الاختزال من مسألة NP-تامة معروفة أن X بصعوبة كل NP على الأقل.

الإجابة

D · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن trie السلاسل حرفًا حرفًا على طول المسارات، لذا يستغرق البحث واستعلامات البادئة زمنًا يتناسب مع طول المفتاح.

الإجابة

B · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة

لماذا هذه هي الإجابة

اختير موقع المفتاح من تجزئته القديمة، ومع تجزئة جديدة يبحث الاستعلام في الدلو الخطأ، لذا يجب أن تكون المفاتيح غير قابلة للتغيير.

الإجابة

D · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

C, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)BB = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms