هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

  1. Aمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
  2. Bمدخلات عشوائية فقط
  3. Cحلقة واحدة
  4. Dلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  2. Bنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  3. Cلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
  4. Dنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم من الذاكرة تستخدم مصفوفة التجاور لمخطط ذي V رأسًا؟

  1. AO(V + E)
  2. BO(E)
  3. CO(V²)
  4. DO(log V)
4.هياكل البياناتصعبة

ما زمن تنفيذ البحث بالعرض أولًا على مخطط فيه V رأسًا مخزّن بمصفوفة تجاور؟

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K8؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K8
H =
6.نظرية البياناتصعبة
121119182147ABCDE

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 5|E| = 7
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

لماذا هذه هي الإجابة

تخزين نتائج المسائل الفرعية المتداخلة (التذكير memoisation أو الجدولة tabulation) يتجنب العمل المكرر، فيحوّل الخوارزميات الأسّية إلى خوارزميات كثيرة الحدود.

الإجابة

A · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

C · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن مصفوفة التجاور V × V مدخلًا، وهي فعّالة للمخططات الكثيفة؛ أما قوائم التجاور فتستخدم O(V + E) وهي أفضل للمخططات المتفرقة.

الإجابة

C · O(V²)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

يمسح كل رأس من الرؤوس V صفًا من V مدخلًا، فيكون الزمن O(V²)، ومع قوائم التجاور يكون BFS في O(V + E).

الإجابة

B · O(V²)
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 2520

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

الإجابة

H = 2520
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 34

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

CE (2): خذ
BE (7): خذ
AC (11): خذ
AB (12): تخطَّ، تُغلق دورة
DE (14): خذ

الوزن الكلي

W = 2 + 7 + 11 + 14 = 34

الإجابة

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms