هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

  1. Aحلقة واحدة
  2. Bمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
  3. Cلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
  4. Dمدخلات عشوائية فقط
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
  2. Bلا هذا ولا ذاك
  3. Cحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
  4. Dالنوعان كلاهما
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم عقدة لشجرة ثنائية كاملة (perfect) ارتفاعها h، مع عدّ الارتفاع بالحواف؟

  1. A2h
  2. B2h + 1
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.هياكل البياناتصعبة

أي عبارة عن الفرز بالكومة (heapsort) صحيحة؟

  1. Aيفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
  2. Bيحتاج إلى شجرة بحث ثنائية بوصفها تخزينًا إضافيًا، فيستخدم O(n) ذاكرة إضافية
  3. Cمستقر ويحتاج إلى ذاكرة إضافية O(n)
  4. Dيعمل في زمن O(n) على أي مدخل
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
91121313610ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

لماذا هذه هي الإجابة

تخزين نتائج المسائل الفرعية المتداخلة (التذكير memoisation أو الجدولة tabulation) يتجنب العمل المكرر، فيحوّل الخوارزميات الأسّية إلى خوارزميات كثيرة الحدود.

الإجابة

B · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 2h+1 − 1

لماذا هذه هي الإجابة

جمع 1 + 2 + 4 + ... + 2h يعطي 2h+1 − 1، فمثلًا الارتفاع 2 يعطي 7 عقد.

الإجابة

C · 2h+1 − 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر

لماذا هذه هي الإجابة

يبني الفرز بالكومة كومة عظمى ويستخرج الأكبر n مرة داخل المصفوفة نفسها، والتبديلات عبر مسافات طويلة قد تغير ترتيب المفاتيح المتساوية.

الإجابة

A · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

A, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 16

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 9, C: 1
C (1): E: 4
E (4): D: 17
B (9): D: 10
D (10): F: 16
F (16)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 16

الإجابة

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms