هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يعني أن لمسألة بنية فرعية مثلى؟

  1. Aأن للمسألة حلًا أمثل واحدًا بالضبط تشترك فيه كل مسألة فرعية
  2. Bأن لكل المسائل الفرعية الحجم نفسه
  3. Cأنه يمكن حل المسألة في زمن ثابت
  4. Dأنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + n log n؟

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الصحيح بشأن مصفوفة التجاور لمخطط غير موجّه؟

  1. Aأن كل صف فيه 1 واحد بالضبط
  2. Bأنها مثلثية علوية دائمًا
  3. Cأنها متناظرة حول القطر الرئيسي
  4. Dأن قطرها الرئيسي يحتوي دائمًا آحادًا
4.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

  1. Aالقبلي وحده
  2. Bالقبلي والبعدي
  3. Cمستوى بعد مستوى وحده
  4. Dالقبلي والوسطي
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
31513915544ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(D) أقصر مسار من A إلى D في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: D
d(D) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية

لماذا هذه هي الإجابة

البنية الفرعية المثلى شرط لكي تعطي الخوارزميات الجشعة والبرمجة الديناميكية إجابات صحيحة.

الإجابة

D · أنه يمكن بناء حل أمثل من الحلول المثلى لمسائلها الفرعية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · Θ(n log² n)

لماذا هذه هي الإجابة

يُجري المستوى k نحو n log(n / 2ᵏ) عملًا، والجمع على log n مستوى يعطي Θ(n log² n)، وهي الحالة الثانية الموسعة من النظرية الرئيسية.

الإجابة

B · Θ(n log² n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي

لماذا هذه هي الإجابة

في المخطط غير الموجّه تعني الحافة {u, v} تعيين M[u][v] وM[v][u] معًا، فتساوي المصفوفة منقولها.

الإجابة

C · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · القبلي والوسطي

لماذا هذه هي الإجابة

يعطي الاجتياز القبلي الجذر، وموضعه في المتتالية الوسطية يفصل الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى، أما القبلي مع البعدي فملتبس حين يكون للعقدة ابن واحد.

الإجابة

D · القبلي والوسطي
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

C, D, E, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(D) = 16

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3, C: 15
B (3): D: 16, E: 7
E (7): F: 11
F (11)
C (15)
D (16)

أقصر مسار

A → B → D
d(D) = 16

الإجابة

d(D) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms