هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لبناء كومة ثنائية من n عنصر غير مرتب بالطريقة التصاعدية (bottom-up)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، ما أقصى معامل تحميل ممكن؟

  1. Aلا يوجد حد أقصى
  2. B2
  3. C1
  4. D0,5
4.هياكل البياناتصعبة

أي عبارة عن الفرز بالكومة (heapsort) صحيحة؟

  1. Aيحتاج إلى شجرة بحث ثنائية بوصفها تخزينًا إضافيًا، فيستخدم O(n) ذاكرة إضافية
  2. Bمستقر ويحتاج إلى ذاكرة إضافية O(n)
  3. Cيعمل في زمن O(n) على أي مدخل
  4. Dيفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
261551076110ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

A · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

جمع كلفة الإنزال (sift-down) عبر المستويات يعطي متسلسلة متقاربة، لذا يعمل بناء الكومة (heapify) في زمن خطي.

الإجابة

C · O(n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 1

لماذا هذه هي الإجابة

في العنونة المفتوحة تُخزَّن كل المفاتيح في الجدول نفسه، فلا يمكن أن تتجاوز n قيمة m، أما التسلسل المنفصل فقد يكون معامل تحميله أكبر من 1.

الإجابة

C · 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر

لماذا هذه هي الإجابة

يبني الفرز بالكومة كومة عظمى ويستخرج الأكبر n مرة داخل المصفوفة نفسها، والتبديلات عبر مسافات طويلة قد تغير ترتيب المفاتيح المتساوية.

الإجابة

D · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

B, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 17

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 2, C: 6
B (2): D: 17, G: 3
G (3)
C (6): E: 11
E (11): F: 17
D (17)
F (17)

أقصر مسار

A → C → E → F
d(F) = 17

الإجابة

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms