هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لضرب مصفوفتين n × n بالحلقة الثلاثية القياسية؟

  1. AO(n³)
  2. BO(n)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تقنية تعطي زمن تشغيل متوقعًا O(n log n) للفرز السريع على أي مدخلات؟

  1. Aاختيار العنصر الأول دائمًا
  2. Bاختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
  3. Cاستخدام العودية على الجانب الأيسر فقط
  4. Dفرز المدخلات قبل تشغيل الفرز السريع
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات يستخدمها البرنامج قيد التشغيل لتتبع استدعاءات الدوال النشطة ومتغيراتها المحلية؟

  1. Aجدول تجزئة للدوال
  2. Bطابور ذاكرة الكومة
  3. Cمكدس الاستدعاءات (call stack)
  4. Dشجرة بحث ثنائية للإطارات
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
  2. Bفي اختيار رأس البداية
  3. Cفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
  4. Dفي فرز الحواف بحسب الوزن
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
2215112414119ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n² مدخلًا ويحتاج كل منها إلى n عملية ضرب، فيكون العدد n³ عملية.

الإجابة

A · O(n³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم

لماذا هذه هي الإجابة

مع محور عشوائي يكون زمن التشغيل المتوقع O(n log n) لكل المدخلات؛ وما زالت الحالات السيئة موجودة لكنها مستبعدة جدًا.

الإجابة

B · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · مكدس الاستدعاءات (call stack)

لماذا هذه هي الإجابة

كل استدعاء يدفع إطارًا وكل عودة تسحبه، ولهذا ينتهي الاستدعاء الأحدث أولًا.

الإجابة

C · مكدس الاستدعاءات (call stack)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

A · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 17

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 2, C: 2
B (2): D: 3, E: 11
C (2)
D (3): E: 7, F: 17
E (7)
F (17)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 17

الإجابة

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms