هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)؟

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

هل 22n تنتمي إلى O(2ⁿ)؟

  1. Aنعم، لأن كلتيهما أسيتان
  2. Bلا، لأن 22n تنمو أبطأ من 2ⁿ
  3. Cنعم، لأن المعاملات الثابتة في الأس تُهمَل دائمًا في O الكبير
  4. Dلا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف يُدرج عنصر جديد في كومة ثنائية؟

  1. Aيُدرج في موضعه المرتب بإزاحة كل العناصر الأكبر منه موضعًا واحدًا إلى اليمين
  2. Bيوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
  3. Cيوضع في الجذر ويُنزل (sift down)
  4. Dيُعاد بناء الكومة كلها من البداية
4.هياكل البياناتصعبة

خُزّن كائن مفتاحًا في خريطة تجزئة، ثم غُيّر حقل تستخدمه دالة تجزئته. ما النتيجة المرجحة؟

  1. Aقد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
  2. Bلا يتغير شيء، لأن تجزئة المفتاح تُحسب مرة واحدة فقط عند بدء البرنامج
  3. Cتُطلق الخريطة خطأً لحظة تغيّر الحقل
  4. Dتنقل الخريطة المفتاح تلقائيًا إلى دلوه الجديد
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
931415153145ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تُنفَّذ الحلقة الداخلية نحو log₂ n مرة لكل من تكرارات الحلقة الخارجية الـ n، فيكون التعقيد O(n log n).

الإجابة

C · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد

لماذا هذه هي الإجابة

الثابت المضاف إلى الأس يعطي معاملًا ثابتًا، أما الثابت الذي يضرب الأس فيغيّر الأساس ومعدل النمو.

الإجابة

D · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة

لماذا هذه هي الإجابة

الإضافة في النهاية تُبقي الشجرة تامة، والتبديل مع الأب يعيد الترتيب في O(log n) خطوة.

الإجابة

B · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة

لماذا هذه هي الإجابة

اختير موقع المفتاح من تجزئته القديمة، ومع تجزئة جديدة يبحث الاستعلام في الدلو الخطأ، لذا يجب أن تكون المفاتيح غير قابلة للتغيير.

الإجابة

A · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

C, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: D

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 9
2. B (9): C: 12, D: 23, E: 14
3. C (12)
4. E (14): F: 28
5. D (23): F: 26
6. F (26)

الجولة 5

D

الإجابة

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms