هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تستغرق مسألة حقيبة الظهر 0/1 المحلولة بالبرمجة الديناميكية زمنًا O(nW). لماذا يُسمى هذا شبه كثير الحدود (pseudo-polynomial)؟

  1. Aلأنها تعمل فقط عندما W = 0
  2. Bلأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
  3. Cلأن الخوارزمية عشوائية ويتفاوت زمن تشغيلها مع كل مدخل
  4. Dلأن n صغيرة دائمًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

يزور الاجتياز الداخلي (in-order) لشجرة البحث الثنائية المفاتيح:

  1. Aبترتيب تصاعدي (مرتبة)
  2. Bبترتيب الإدراج
  3. Cبترتيب تنازلي دائمًا
  4. Dحسب المستويات
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
  2. Bلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
  3. Cلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
  4. Dلجعل جدول التجزئة مرتبًا
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 11 رؤوس و15 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 11|E| = 15
k =
6.نظرية البياناتصعبة
1310615131114913ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

B · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W

لماذا هذه هي الإجابة

زمن التشغيل كثير حدود بالنسبة إلى قيمة W لكنه أسّي بالنسبة إلى طولها (log W بت)؛ ومسألة حقيبة الظهر 0/1 هي NP-كاملة.

الإجابة

B · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · بترتيب تصاعدي (مرتبة)

لماذا هذه هي الإجابة

زيارة الشجرة الفرعية اليسرى ثم العقدة ثم الشجرة الفرعية اليمنى تُخرج مفاتيح BST بترتيب مرتب.

الإجابة

A · بترتيب تصاعدي (مرتبة)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

C · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

11 − 1 = 10

الحواف المراد حذفها

k = 15 − 10 = 5

الإجابة

k = 5
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 38

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 13
B (13): D: 23, G: 24
D (23): E: 29, F: 38
G (24): C: 38
E (29)
C (38)
F (38)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 38

الإجابة

d(F) = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms