هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن P و NP صحيحة؟

  1. ANP تعني «ليست كثيرة الحدود» (not polynomial)
  2. Bكل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
  3. Cلا يمكن التحقق من حلول مسائل NP بسرعة
  4. Dثبت أن P ≠ NP
3.هياكل البياناتمتوسطة

تضمن أشجار AVL والأشجار الحمراء-السوداء:

  1. Aألا يكون لأي عقدة ابنان
  2. Bتخزين المفاتيح بترتيب الإدراج
  3. Cبحثًا في زمن ثابت في جميع الحالات
  4. Dارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البياناتصعبة

ما بنية البيانات التي تدعم ذاكرة تخزين مؤقت LRU (least recently used) بعمليتي get وput في O(1)؟

  1. Aمكدس فقط
  2. Bخريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة
  3. Cمصفوفة مرتبة واحدة
  4. Dشجرة بحث ثنائية فقط
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K4؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K4
H =
6.نظرية البياناتصعبة
515615111176ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

C · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP

لماذا هذه هي الإجابة

P ⊆ NP: إذا كنت تستطيع حل مسألة بسرعة فإنك تستطيع التحقق من الحل بسرعة. أما مسألة ما إذا كان P = NP فما زالت مفتوحة.

الإجابة

B · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن

لماذا هذه هي الإجابة

تحافظ الأشجار ذاتية التوازن على ارتفاع لوغاريتمي، لذا تكون عمليات البحث والإدراج والحذف O(log n) في أسوأ الحالات.

الإجابة

D · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · خريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة

لماذا هذه هي الإجابة

تجد خريطة التجزئة العقد في O(1)، وتنقل القائمة المترابطة المزدوجة العناصر المستخدمة إلى المقدمة وتزيل من النهاية في O(1).

الإجابة

B · خريطة تجزئة مع قائمة مترابطة مزدوجة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 3

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

الإجابة

H = 3
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 27

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 5, C: 15
B (5): C: 11, D: 20, E: 11
C (11)
E (11)
D (20): F: 27
F (27)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 27

الإجابة

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms