هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تُنفِّذ دالة حلقة من n تكرارًا، ثم بشكل منفصل حلقة أخرى من n تكرارًا. ما تعقيدها الزمني؟

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

  1. Aغير قابلة للحسم
  2. Bتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
  3. Cنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
  4. Dنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات يستخدمها البرنامج قيد التشغيل لتتبع استدعاءات الدوال النشطة ومتغيراتها المحلية؟

  1. Aجدول تجزئة للدوال
  2. Bمكدس الاستدعاءات (call stack)
  3. Cطابور ذاكرة الكومة
  4. Dشجرة بحث ثنائية للإطارات
4.هياكل البياناتصعبة

ما الميزة الرئيسية لقائمة التخطي (skip list) مقارنةً بقائمة مترابطة مرتبة؟

  1. Aبحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
  2. Bلا تستخدم ذاكرة إضافية
  3. Cبحث مضمون في O(1) لأن كل عقدة تخزّن مؤشرًا إلى كل عقدة أخرى
  4. Dتخزّن المفاتيح دون ترتيب
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
113411114661211ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 6؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

n + n = 2n، وتُسقط المعاملات الثابتة، فتكون الدالة O(n).

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة

لماذا هذه هي الإجابة

"هل توجد جولة طولها k على الأكثر؟" مسألة NP-تامة، وإيجاد أقصر جولة NP-صعب، لأنه بالصعوبة نفسها على الأقل.

الإجابة

C · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · مكدس الاستدعاءات (call stack)

لماذا هذه هي الإجابة

كل استدعاء يدفع إطارًا وكل عودة تسحبه، ولهذا ينتهي الاستدعاء الأحدث أولًا.

الإجابة

B · مكدس الاستدعاءات (call stack)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية

لماذا هذه هي الإجابة

تتيح المستويات العشوائية للبحث تخطي عقد كثيرة، مما يعطي زمنًا متوقعًا قدره O(log n) للبحث والإدراج والحذف.

الإجابة

A · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 15

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 31 = 2(L + 9) − 2
L = 15

الإجابة

L = 15

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: D

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 11, C: 3
2. C (3): E: 14, G: 9
3. G (9): D: 21
4. B (11): D: 15
5. E (14): F: 18
6. D (15)
7. F (18)

الجولة 6

D

الإجابة

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms