هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا لا تعطي البرمجة الديناميكية تسريعًا حقيقيًا للفرز بالدمج؟

  1. Aلأن الفرز بالدمج O(n) أصلًا
  2. Bلأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
  3. Cلأن البرمجة الديناميكية لا تعمل إلا على مسائل الرسوم البيانية، لا على المصفوفات
  4. Dلأن الفرز بالدمج ليس له بنية عودية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي أمرين يجب إثباتهما لإثبات أن مسألة القرار X هي NP-تامة؟

  1. Aأن X تُختزل إلى مسألة في P، وأن X تنتمي إلى NP
  2. Bأن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود، وأن X قابلة للحسم
  3. Cأن X تنتمي إلى P، وأن X تُختزل إلى SAT
  4. Dأن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  2. Bانظر إلى الجذر فقط
  3. Cزُر كل ورقة وقارن بينها
  4. Dاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البياناتصعبة

خُزّن كائن مفتاحًا في خريطة تجزئة، ثم غُيّر حقل تستخدمه دالة تجزئته. ما النتيجة المرجحة؟

  1. Aقد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
  2. Bتنقل الخريطة المفتاح تلقائيًا إلى دلوه الجديد
  3. Cتُطلق الخريطة خطأً لحظة تغيّر الحقل
  4. Dلا يتغير شيء، لأن تجزئة المفتاح تُحسب مرة واحدة فقط عند بدء البرنامج
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 6 رؤوس و17 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 6|E| = 17
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه

لماذا هذه هي الإجابة

نصفا الفرز بالدمج منفصلان ويُحل كل منهما مرة واحدة، والبرمجة الديناميكية لا تفيد إلا حين تتكرر المسائل الفرعية، كما في فيبوناتشي.

الإجابة

B · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

يبيّن الانتماء إلى NP أن X ليست أصعب من NP، ويبيّن الاختزال من مسألة NP-تامة معروفة أن X بصعوبة كل NP على الأقل.

الإجابة

D · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

D · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة

لماذا هذه هي الإجابة

اختير موقع المفتاح من تجزئته القديمة، ومع تجزئة جديدة يبحث الاستعلام في الدلو الخطأ، لذا يجب أن تكون المفاتيح غير قابلة للتغيير.

الإجابة

A · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

6 − 1 = 5

الحواف المراد حذفها

k = 17 − 5 = 12

الإجابة

k = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms