هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لخوارزمية Bellman–Ford على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(E log V)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تكشف خوارزمية Bellman–Ford دورة سالبة الوزن قابلة للبلوغ من المصدر؟

  1. Aبعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
  2. Bتعدّ الدورات بالبحث بالعمق أولًا
  3. Cتتحقق مما إذا كانت لأي حافة وزن سالب
  4. Dتُنفّذ خوارزمية Dijkstra مرتين وتقارن نتيجتَي المسافات
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الغرض من العقدة الحارسة (sentinel أو dummy) في قائمة مترابطة؟

  1. Aتخزين عدد العناصر
  2. Bمنع القائمة من النمو إلى ما يتجاوز حدًّا أقصى ثابتًا من العقد
  3. Cتبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
  4. Dجعل القائمة مرتبة
4.هياكل البياناتصعبة

أي ضمان تعطيه قواعد الشجرة الحمراء-السوداء بشأن ارتفاع شجرة فيها n مفتاحًا؟

  1. Aالارتفاع لا يتجاوز log2 n + 1
  2. Bالارتفاع لا يتجاوز 2 log2(n + 1)
  3. Cالارتفاع لا يتجاوز n / 2
  4. Dالارتفاع log2 n بالضبط
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 12 رؤوس و17 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 12|E| = 17
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(V × E)

لماذا هذه هي الإجابة

في كل جولة من الجولات V − 1 تُرخى كل الحواف E، فيكون التعقيد O(VE)، وفي المقابل تتعامل مع أوزان الحواف السالبة.

الإجابة

D · O(V × E)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة

لماذا هذه هي الإجابة

تُوجد كل المسافات الأقصر الحقيقية خلال V − 1 جولة، فإذا أمكن بعدُ تحسين حافة فلا بد من وجود دورة سالبة.

الإجابة

A · بعد V − 1 جولة تتحقق مما إذا كان يمكن بعدُ إرخاء أي حافة
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل

لماذا هذه هي الإجابة

مع العقدة الحارسة يكون لكل عقدة حقيقية سابقة، فلا يحتاج الإدراج أو الحذف عند الرأس إلى معالجة خاصة.

الإجابة

C · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · الارتفاع لا يتجاوز 2 log2(n + 1)

لماذا هذه هي الإجابة

لكل مسار العدد نفسه من العقد السوداء، والعقد الحمراء لا تتجاور، فيكون أطول مسار ضعف أقصرها على الأكثر، فيكون الارتفاع O(log n).

الإجابة

B · الارتفاع لا يتجاوز 2 log2(n + 1)
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 6

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

12 − 1 = 11

الحواف المراد حذفها

k = 17 − 11 = 6

الإجابة

k = 6
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms