هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الخوارزمية الجشعة (Greedy):

  1. Aتستخدم العودية فقط
  2. Bتعطي الحل الأمثل دائمًا
  3. Cتجرّب كل حل ممكن
  4. Dتتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + n log n؟

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يكون اجتياز مصفوفة عمليًا أسرع غالبًا بكثير من اجتياز قائمة مترابطة بالطول نفسه؟

  1. Aلأن المصفوفات تستخدم تعليمات أقل لمقارنة القيم
  2. Bلأن القوائم المترابطة تخزّن العناصر على القرص دائمًا
  3. Cلأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
  4. Dلأن اجتياز المصفوفة O(1) في المجموع، بينما اجتياز القائمة المترابطة O(n)
4.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

  1. Aالقبلي والبعدي
  2. Bالقبلي والوسطي
  3. Cمستوى بعد مستوى وحده
  4. Dالقبلي وحده
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 3
L =
6.نظرية البياناتصعبة
919235162012ABCDEF

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس F. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Fk = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة DF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة

لماذا هذه هي الإجابة

الخوارزميات الجشعة سريعة ومثلى لبعض المسائل (مثل خوارزمية ديكسترا وترميز هوفمان)، لكنها ليست كذلك عمومًا (مثل مسألة صرف النقود مع بعض أنظمة القطع النقدية).

الإجابة

D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Θ(n log² n)

لماذا هذه هي الإجابة

يُجري المستوى k نحو n log(n / 2ᵏ) عملًا، والجمع على log n مستوى يعطي Θ(n log² n)، وهي الحالة الثانية الموسعة من النظرية الرئيسية.

الإجابة

A · Θ(n log² n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج

لماذا هذه هي الإجابة

الذاكرة المتجاورة تعطي محلية مرجعية جيدة، بينما قد تكون العقد المترابطة متفرقة فتسبب إخفاقات كثيرة في الـ cache.

الإجابة

C · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · القبلي والوسطي

لماذا هذه هي الإجابة

يعطي الاجتياز القبلي الجذر، وموضعه في المتتالية الوسطية يفصل الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى، أما القبلي مع البعدي فملتبس حين يكون للعقدة ابن واحد.

الإجابة

B · القبلي والوسطي
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 6

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

الإجابة

L = 6

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة CE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. DF (20)
2. BD (3)
3. BC (2)
4. CE (5)
5. AB (9)

رقم الحافة 4

CE

الإجابة

الحافة CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms