هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الحد الأدنى للفرز القائم على المقارنة في أسوأ الحالات هو:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن P و NP صحيحة؟

  1. ANP تعني «ليست كثيرة الحدود» (not polynomial)
  2. Bكل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
  3. Cلا يمكن التحقق من حلول مسائل NP بسرعة
  4. Dثبت أن P ≠ NP
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما التعقيد الزمني للبحث عن مفتاح في شجرة بحث ثنائية متوازنة؟

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.هياكل البياناتصعبة

أي خاصية تُبقي كل شجرة B متوازنة تمامًا؟

  1. Aتخزّن كل عقدة مفتاحًا واحدًا
  2. Bكل الأوراق على العمق نفسه
  3. Cالمفاتيح لا تُخزَّن إلا في الجذر
  4. Dلكل عقدة ابنان بالضبط
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
19811412131810ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Ω(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج أي فرز بالمقارنة في أسوأ الحالات إلى log₂(n!) ≈ n log n مقارنة على الأقل. ويتخطى الفرز بالعدّ (Counting sort) هذا الحد لأنه لا يقارن.

الإجابة

C · Ω(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP

لماذا هذه هي الإجابة

P ⊆ NP: إذا كنت تستطيع حل مسألة بسرعة فإنك تستطيع التحقق من الحل بسرعة. أما مسألة ما إذا كان P = NP فما زالت مفتوحة.

الإجابة

B · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

ارتفاع الشجرة المتوازنة نحو log₂ n، لذا يتبع البحث مسارًا واحدًا من الجذر إلى ورقة.

الإجابة

D · O(log n)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · كل الأوراق على العمق نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

تنقسم العقد إلى الأعلى حين تمتلئ، ولا يزداد ارتفاع الشجرة إلا حين ينقسم الجذر، فتبقى الأوراق كلها دائمًا على المستوى نفسه.

الإجابة

B · كل الأوراق على العمق نفسه
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 21

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 1, C: 9
B (1): D: 9, G: 14
C (9): E: 10, G: 10
D (9): F: 21
E (10)
G (10)
F (21)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 21

الإجابة

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms